Vektorji in skalarji: kaj so in zakaj so pomembni?

V vsakdanjem življenju večina ljudi uporablja izrazehitrostinhitrostvendar so za fizike primeri dveh zelo različnih vrst količin.

Težave z mehaniko se ukvarjajo z gibanjem predmetov in čeprav lahko gibanje opišete le s hitrostjo, je določena smer, v kateri se nekaj dogaja, pogosto ključnega pomena.

Podobno lahko sile, ki delujejo na predmete, prihajajo iz različnih smeri - na primer pomislite na nasprotujoče si potege vleke vrvi - torej fiziki, ki opisujejo takšne situacije, morajo uporabljati količine, ki opisujejo tako "velikost" stvari, kot so sile, in smer, v katero se deluje. Te količine se imenujejovektorji​.

TL; DR (predolgo; Nisem prebral)

Vektor ima tako velikost kot določeno smer, skalarna količina pa ima samo velikost.

Ključna razlika med vektorji in skalarji je, da ga velikost vektorja ne opisuje v celoti; prav tako mora biti navedena smer.

Smer vektorja je mogoče navesti na več načinov, bodisi s pozitivnimi ali negativnimi znaki pred njim, izražanje v obliki komponent (skalarne vrednosti ob ustreznem

Nasprotno pa je skalar le velikost vektorja brez kakršnega koli dodatnega zapisa ali informacij - na primer hitrost je skalarni ekvivalent vektorja hitrosti. Z matematičnega vidika je absolutna vrednost vektorja.

Številne količine, kot so energija, tlak, dolžina, masa, moč in temperatura, pa so primeri skalarjev, ki niso le velikost ustreznega vektorja. Ni vam treba vedeti »smeri« mase, na primer, da bi imeli popolno sliko o njej kot fizični lastnosti.

Obstaja nekaj nasprotujočih si dejstev, ki jih lahko razumete, ko poznate razliko med skalarjem in vektor, na primer ideja, da bi lahko nekaj imelo stalno hitrost, vendar se nenehno spreminja hitrost. Predstavljajte si avto, ki vozi s konstantno hitrostjo 10 km / h, vendar v krogu. Ker je smer vektorja del njegove opredelitve, je vektor hitrosti avtomobila vedno spreminja v tem primeru, kljub dejstvu, da je velikost vektorja (tj. njegova hitrost) konstanten.

V fiziki je veliko primerov vektorjev, nekateri najbolj znani primeri pa so sila, zagon, pospešek in hitrost, ki so v klasični fiziki zelo značilni. Vektor hitrosti bi lahko prikazal kot 25 m / s na vzhodu, −8 km / h vy-smer,​v​= 5 m / sjaz+ 10 m / sjali 10 m / s v smeri 50 stopinj odx-os.

Vektorji giba so še en primer, s katerim lahko vidite, kako sta v fiziki prikazana velikost in smer vektorja. Ti delujejo tako kot primeri vektorjev hitrosti, s 50 kg m / s proti zahodu, −12 km / h vzsmer,​str​= 12 kg m / sjaz- 10 kg m / sj- 15 kg m / skin 100 kg m / s 30 stopinj odx-os so primeri, kako jih je mogoče prikazati. Enake osnovne točke veljajo za prikaz pospeševalnih vektorjev, edina razlika je m / s² in pogosto uporabljeni simbol za vektor,​a​​.

Sila je zadnji med temi primeri vektorskih izrazov in čeprav obstaja veliko podobnosti, je uporaba valjastih koordinat (r​, ​θ​, ​z) namesto kartezičnih koordinat lahko prikažejo druge načine njihovega prikaza. Na primer, silo lahko napišete kot​F​= 10 Nr+ 35 N𝛉, za silo s komponentami v radialni smeri in azimutni smeri ali opišite silo gravitacije na 1-kilogramskem objektu na Zemlji kot 10 N v -rsmer (tj. proti središču planeta).

V diagramih so vektorji prikazani s puščicami, pri čemer je velikost vektorja predstavljena z dolžino puščice, njegova smer pa s smerjo, v katero puščica kaže. Na primer, večja puščica kaže, da je sila večja (tj. Več newtonov ali večja velikost) kot druga sila.

Za vektor, ki prikazuje gibanje, na primer zagon ali vektor hitrosti, seničelni vektor(tj. vektor, ki ne predstavlja hitrosti ali giba) se prikaže z eno piko.

Omeniti velja, da ker dolžina puščice predstavlja velikost vektorja, njegova usmeritev pa smer vektorja. Pri izdelavi vektorskega diagrama je koristno poskusiti biti primerno natančni. Ni nujno, da je popoln, če pa vektor​a​je dvakrat večji od vektorja​b​, puščica naj bo približno dvakrat daljša.

Seštevanje vektorjev in odštevanje vektorjev sta nekoliko bolj zapletena kot dodajanje in odštevanje skalarjev, vendar lahko koncepte enostavno poberete. Obstajata dva glavna pristopa, ki ju lahko uporabite, in vsak ima potencialno uporabo, odvisno od specifične težave, s katero se spopadate.

Prvi in ​​najlažji za uporabo, ko ste dobili dva vektorja v obliki komponent, je preprosto dodajanje ujemajočih se komponent na enak način, kot bi dodali običajne skalarje. Na primer, če bi morali dodati dve sili​F​​₁ = 5 Njaz+ 10 Njin​F​​₂ = 6 Njaz+ 15 Nj+ 10 Nk, bi dodalijazkomponent, natojkomponent in končnokkomponente, kot sledi:

Odštevanje vektorjev deluje na popolnoma enak način, le da količine odštejete, namesto da jih seštevate. Tudi vektorsko seštevanje je komutativno, tako kot običajno seštevanje z realnimi števili​a ​​+ ​​b​​ = ​​b​​ + ​​a​​.

Dodajanje vektorjev lahko izvedete tudi s pomočjo puščic, tako da vektorske puščice položite glavo do repa in nato risanje nove vektorske puščice za vsoto vektorjev, ki povezujejo rep prve puščice z glavo drugič.

Če imate preprost vektorski seštevek z enim vx-smer in drugo vy-smer, diagram tvori pravokotni trikotnik. Dodajanje vektorja lahko dokončate in določite velikost in smer nastalega vektorja tako, da trikotnik "rešite" s pomočjo trigonometrije in Pitagorinega izreka.

Množenje vektorjev je nekoliko bolj zapleteno kot skalarno množenje za realna števila, vendar sta glavni obliki množenja pikčasti in navzkrižni zmnožek. Dot izdelek se imenuje skalarni izdelek in je opredeljen kot:

ali

kjeθje kot med obema vektorjema, indeksi 1, 2 in 3 pa predstavljajo prvo, drugo in tretjo komponento vektorja. Rezultat pikčastega izdelka je skalar.

Navzkrižni proizvod je opredeljen kot:

z vejicami, ki ločujejo komponente rezultata v različnih smereh.