Avektorje količina, ki ima s seboj povezano tako velikost kot smer. To se razlikuje od askalarkoličina, ki ustreza samo velikosti. Hitrost je primer vektorske količine. Ima tako velikost (kako hitro se nekaj dogaja) kot smer (smer, v katero potuje.)
Vektorji so pogosto narisani kot puščice. Dolžina puščice ustreza velikosti vektorja, točka puščice pa kaže smer.
Obstajata dva načina za delo z dodajanjem in odštevanjem vektorjev. Prvo je grafično, z manipulacijo puščic diagramov samih vektorjev. Drugi je matematično, kar daje natančne rezultate.
Grafično seštevanje in odštevanje vektorjev v eni dimenziji
Ko dodate dva vektorja, postavite rep drugega vektorja na konico prvega vektorja, hkrati pa ohranite orientacijo vektorja. Therezultantni vektorje vektor, ki se začne na repu prvega vektorja in je usmerjen v ravni črti na konico drugega vektorja.
Na primer, razmislite o dodajanju vektorjevAinBki kažejo v isti smeri vzdolž črte. Postavimo jih "od konca do repa" in nastali vektor,C, kaže v isto smer in ima dolžino, ki je vsota dolžinAinB.
Odštevanje vektorjev v eni dimenziji je v bistvu enako dodajanju, razen če "preusmerite" drugi vektor. To je neposredno posledica dejstva, da je odštevanje enako kot dodajanje negativa.
Matematično seštevanje in odštevanje vektorjev v eni dimenziji
Pri delu v eni dimenziji lahko smer vektorja označimo z znakom. Izberemo eno smer, ki bo pozitivna (običajno »gor« ali »desno« izberemo kot pozitivno), in kateri koli vektor, ki kaže v to smer, določimo kot pozitivno količino. Vsak vektor, ki kaže v negativno smer, je negativna količina. Ko dodajate ali odštevate vektorje, dodajte ali odštejte njihove velikosti z ustreznimi znaki.
Recimo v prejšnjem odseku vektorAje imel magnitudo 3 in vektorBje imel magnitudo 5. Nato nastali vektorC = A + B =8, vektor magnitude 8, ki kaže v pozitivno smer, in posledični vektorD = A - B =-2, vektor velikosti 2, ki kaže v negativni smeri. Upoštevajte, da je to v skladu z grafičnimi rezultati od prej.
Nasvet: Pazite, da dodate samo vektorje iste vrste: hitrost + hitrost, sila + sila itd. Kot pri vseh matematikah v fiziki se morajo tudi enote ujemati!
Grafično seštevanje in odštevanje vektorjev v dveh dimenzijah
Če prvi vektor in drugi vektor nista vzdolž iste črte v kartezijanskem prostoru, jih lahko dodate ali odštejete z isto metodo »tip to tail«. Če želite dodati dva vektorja, si preprosto predstavljajte, da dvignete drugega in njegov rep položite na konico prvega, hkrati pa ohranite njegovo usmerjenost, kot je prikazano. Rezultatni vektor je puščica, ki se začne na repu prvega vektorja in konča na konici drugega vektorja:
Tako kot v eni dimenziji je odštevanje enega vektorja od drugega enakovredno zrcaljenju in dodajanju. Grafično je to videti tako:
•••Dana Chen | Učenje
Opomba: Včasih je dodajanje vektorjev prikazano grafično tako, da sestavijo repi obeh dodanih vektorjev skupaj in ustvarijo paralelogram. Rezultatni vektor je nato diagonala tega paralelograma.
Matematično seštevanje in odštevanje vektorjev v dveh dimenzijah
Če želite matematično dodati in odšteti vektorje v dveh dimenzijah, sledite tem korakom:
Vsak vektor razgradi vx-komponenta, včasih imenovana vodoravna komponenta, in ay-komponenta, včasih imenovana tudi navpična komponenta, s pomočjo trigonometrije. (Upoštevajte, da so komponente lahko negativne ali pozitivne, odvisno v katero smer kaže vektor)
Dodajtex-komponente obeh vektorjev skupaj in nato dodajtey-komponente obeh vektorjev skupaj. Ta rezultat vam dajexinysestavnih delov dobljenega vektorja.
Velikost nastalega vektorja lahko najdemo s pomočjo pitagorejskega izreka.
Smer nastalega vektorja lahko najdemo s trigonometrijo z uporabo funkcije inverzne tangente. Ta smer je običajno podana kot kota glede na pozitivnox-os.
Trigonometrija v vektorskem seštevanju
Spomnimo se razmerij med stranicami in koti pravokotnega trikotnika iz trigonometrije.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ besedilo {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ besedilo {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Pitagorov izrek:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Gibanje izstrelka ponuja klasične primere, kako lahko te odnose uporabimo tako za razgradnjo vektorja kot za določitev končne velikosti in smeri vektorja.
Razmislite o dveh igrah ulova. Recimo, da vam rečejo, da žogo vržete z višine 1,3 m s hitrostjo 16 m / s pod kotom 50 stopinj glede na vodoravno ravnino. Če želite začeti analizirati to težavo, boste morali razložiti ta začetni vektor hitrosti naxinysestavni deli, kot je prikazano:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ krat \ cos (50) = 10,3 \ besedilo {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ krat \ sin (50) = 12,3 \ besedilo {m / s}
Če lovilec zgreši žogo in zadene tla, s kakšno končno hitrostjo bo udaril?
Z uporabo kinematičnih enačb lahko ugotovimo, da so končne komponente hitrosti krogle:
v_ {xf} = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13,3 \ text {m / s}
Pitagorin izrek nam omogoča, da najdemo velikost:
v_ {f} = \ sqrt {(10,3) ^ 2 + (-13,3) ^ 2} = 16,8 \ besedilo {m / s}
In trigonometrija nam omogoča, da določimo kot:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Velika (\ frac {-13.3} {10.3} \ Velika) = - 52,2 \ stopinja
Primer seštevanja in odštevanja vektorjev
Razmislite o avtomobilu, ki zavija za vogalom. Recimovjazsaj je avto vx-smer z magnitudo 10 m / s invfje pod kotom 45 stopinj s pozitivnimx-os z magnitudo 10 m / s. Če se ta sprememba gibanja zgodi v 3 sekundah, kolikšna je velikost in smer pospeševanja avtomobila, ko se obrne?
Spomnimo se tega pospeševanjaaje vektorska količina, definirana kot:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Kjevfinvjazso končne oziroma začetne hitrosti (in s tem tudi vektorske količine).
Za izračun vektorske razlikevf - vjaz,najprej moramo razstaviti začetni in končni vektor hitrosti:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7,07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ besedilo {m / s}
Nato odštejemo finalexinysestavnih delov iz začetnegaxinykomponente, da dobite komponentevf - vjaz:
Nato odštejemoxinysestavni deli:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7.07-10 = -2.93 \ besedilo {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7.07 -0 = 7,07 \ besedilo {m / s}
Nato delite vsako po času, da dobite komponente vektorja pospeška:
a_x = \ frac {-2.93} {3} = - 0.977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7.07} {3} = 2,36 \ text {m / s} ^ 2
Uporabite Pitagorin izrek, da poiščete velikost vektorja pospeška:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ besedilo {m / s} ^ 2
Na koncu s pomočjo trigonometrije poiščite smer vektorja pospeška:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Velika (\ frac {2,36} {- 0,977} \ Velika) = 113 \ stopinja