Kinematične enačbe opisujejo gibanje predmeta s konstantnim pospeševanjem. Te enačbe povezujejo spremenljivke časa, položaja, hitrosti in pospeška gibljivega predmeta, kar omogoča reševanje katere koli od teh spremenljivk, če so ostale znane.
Spodaj je prikazan objekt, ki v enaki dimenziji neprestano pospešuje gibanje. Spremenljivka t je za čas, položaj je x, hitrost v in pospeševanje a. Naročniki jaz in f pomeni "začetno" oziroma "končno". Predpostavlja se, da t = 0 at xjaz in vjaz.
(Vstavi sliko 1)
Seznam kinematičnih enačb
Spodaj so navedene tri primarne kinematične enačbe, ki veljajo pri delu v eni dimenziji. Te enačbe so:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Opombe o kinematičnih enačbah
- Te enačbe delujejo samo s konstantnim pospeškom (ki je v primeru konstantne hitrosti lahko enak nič).
- Odvisno od vira, ki ste ga prebrali, končne količine morda nimajo indeksa f, in / ali je lahko v zapisu funkcije predstavljen kot x (t) - preberite “x v odvisnosti od časa "ali"x v času t"- in v (t). Upoštevajte to x (t) NE pomeni x pomnoženo z t!
-
Včasih količina xf - xjaz je napisano
Δx, kar pomeni "sprememba v x, «Ali celo preprosto kot d, kar pomeni premik. Vsi so enakovredni. Položaj, hitrost in pospešek so vektorske količine, kar pomeni, da imajo s seboj povezano smer. V eni dimenziji smer običajno označujejo znaki - pozitivne količine so v pozitivni smeri in negativne količine v negativni smeri. Naročniki: "0" se lahko namesto za začetni položaj in hitrost uporabi jaz. Ta "0" pomeni "na t = 0, "in x0 in v0 se običajno izgovarjata "x-nič" in "v-nič". * Samo ena enačba ne vključuje časa. Pri zapisovanju danosti in določanju enačbe uporabiti je to ključno!
Poseben primer: Prosti padec
Prosti padec je gibanje predmeta, ki se pospešuje samo zaradi gravitacije brez zračnega upora. Veljajo iste kinematične enačbe; vendar je vrednost pospeška blizu Zemljine površine znana. Velikost tega pospeška je pogosto predstavljena z g, kjer je g = 9,8 m / s2. Smer tega pospeševanja je navzdol, proti zemeljski površini. (Upoštevajte, da se nekateri viri morda približajo g kot 10 m / s2, drugi pa lahko uporabijo vrednost, ki je natančna na več kot dve decimalni mesti.)
Strategija reševanja problemov za probleme kinematike v eni dimenziji:
Skicirajte diagram situacije in izberite ustrezen koordinatni sistem. (Spomnimo se tega x, v in a so vse vektorske količine, zato bo z določitvijo jasne pozitivne smeri lažje slediti znakom.)
Napišite seznam znanih količin. (Pazite, da včasih poznanja niso očitna. Poiščite besedne zveze, kot je "začne se od počitka", kar pomeni, da vjaz = 0 ali "udari ob tla", kar pomeni, da xf = 0 itd.)
Ugotovite, katero količino vprašanje želi najti. Kaj je tisto neznano, za kar se boste lotili?
Izberite ustrezno kinematično enačbo. To bo enačba, ki vsebuje vašo neznano količino skupaj z znanimi količinami.
Rešite enačbo za neznano količino, nato priklopite znane vrednosti in izračunajte končni odgovor. (Bodite previdni glede enot! Včasih boste morali pred računalništvom pretvoriti enote.)
Primeri enodimenzionalne kinematike
Primer 1: Oglas trdi, da lahko športni avtomobil doseže hitrost od 0 do 60 mph v 2,7 sekunde. Kakšen je pospešek tega avtomobila v m / s2? Kako daleč prevozi v teh 2,7 sekunde?
Rešitev:
(Vstavi sliko 2)
Znane in neznane količine:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Prvi del vprašanja zahteva rešitev za neznani pospešek. Tu lahko uporabimo enačbo št. 1:
v_f = v_i + at \ implicira a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Preden priklopimo številke, pa moramo pretvoriti hitrost 60 mph v m / s:
60 \ prekliči {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0,477 \ text {m / s}} {\ prekliči {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26,8 \ text {m / s}
Pospešek je torej:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ podčrtaj {\ krepko {9.93} \ besedilo {m / s} ^ 2}
Da bi ugotovili, kako daleč gre v tem času, lahko uporabimo enačbo št. 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 pri ^ 2 = \ frac 1 2 \ krat 9,93 \ krat 2,7 ^ 2 = \ podčrtaj {\ krepko {36.2} \ besedilo {m}}
2. primer: Žoga se vrže s hitrostjo 15 m / s z višine 1,5 m. Kako hitro gre, ko udari o tla? Koliko časa traja, da se udarite ob tla?
Rešitev:
(Vstavi sliko 3)
Znane in neznane količine:
x_i = 1,5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9,8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Za rešitev prvega dela lahko uporabimo enačbo št. 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ implicira v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Vse je že v doslednih enotah, zato lahko vstavimo vrednosti:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9,8) (0-1,5)} = \ pm \ sqrt {254,4} \ približno \ pm16 \ besedilo {m / s}
Tu sta dve rešitvi. Kateri je pravilen? Iz našega diagrama vidimo, da mora biti končna hitrost negativna. Odgovor je torej:
v_f = \ podčrtaj {\ krepko {-16} \ besedilo {m / s}}
Za časovno reševanje lahko uporabimo enačbo št. 1 ali enačbo št. Ker je enačba št. 1 enostavnejša za delo, bomo uporabili to:
v_f = v_i + at \ pomeni t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ približno \ podčrtaj {\ krepko {3.2} \ besedilo {s }}
Upoštevajte, da odgovor na prvi del tega vprašanja ni bil 0 m / s. Čeprav je res, da bo po padcu žoge imela 0 hitrosti, to vprašanje želi vedeti, kako hitro gre v tistem delcu sekunde pred udarcem. Ko se žoga dotakne tal, naše kinematične enačbe ne veljajo več, ker pospeševanje ne bo stalno.
Kinematične enačbe za gibanje izstrelka (dve dimenziji)
Izstrelek je predmet, ki se giblje v dveh dimenzijah pod vplivom Zemljine gravitacije. Njegova pot je parabola, ker je edini pospešek posledica gravitacije. Kinematične enačbe za gibanje izstrelka imajo nekoliko drugačno obliko od zgoraj naštetih kinematičnih enačb. Uporabljamo dejstvo, da so komponente gibanja pravokotne med seboj - na primer vodoravna x smer in navpičnico y smer - so neodvisni.
Strategija reševanja problemov pri težavah s kinematiko premikanja izstrelkov:
Skicirajte diagram situacije. Tako kot pri enodimenzionalnem gibanju je koristno skicirati scenarij in navesti koordinatni sistem. Namesto da bi uporabljali nalepke x, v in a za položaj, hitrost in pospešek potrebujemo način označevanja gibanja v vsaki dimenziji posebej.
Za vodoravno smer je najpogostejša uporaba x za položaj in vx za x-komponento hitrosti (upoštevajte, da je pospešek 0 v tej smeri, zato zanj ne potrebujemo spremenljivke.) V y smer, je najpogostejša za uporabo y za položaj in vy za y-komponento hitrosti. Pospešek je lahko označen ay ali pa uporabimo dejstvo, da vemo, da je pospešek zaradi gravitacije g v negativni smeri y in to preprosto uporabite.
Napišite seznam znanih in neznanih količin, tako da problem razdelite na dva dela: navpično in vodoravno gibanje. S pomočjo trigonometrije poiščite x- in y-komponento katere koli vektorske količine, ki ne leži vzdolž osi. Koristno je, če to navedete v dveh stolpcih:
(vstavite tabelo 1)
Opomba: Če je hitrost podana kot velikost skupaj s kotom, Ѳ, nad vodoravno ravnino, nato uporabite vektorsko razgradnjo, vx= vcos (Ѳ) in vy= vsin (Ѳ).
Upoštevamo lahko naše tri kinematične enačbe od prej in jih prilagodimo smeri x in y.
X smer:
x_f = x_i + v_xt
Smer Y:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2g (y_f - y_i)
Upoštevajte, da je pospešek v y smer je -g, če domnevamo, da je gor pozitiven. Pogosta napačna predstava je, da je g = -9,8 m / s2, vendar to ni pravilno; g samo velikost pospeška: g = 9,8 m / s2, zato moramo določiti, da je pospešek negativen.
Rešite eno neznano v eni od teh dimenzij in nato priključite tisto, kar je skupno v obeh smereh. Medtem ko je gibanje v dveh dimenzijah neodvisno, se dogaja na isti časovni lestvici, zato je časovna spremenljivka v obeh dimenzijah enaka. (Čas, ki ga potrebuje krogla za navpično gibanje, je enak času, ko je potrebno vodoravno gibanje.)
Primeri kinematike gibanja izstrelkov
Primer 1: Projektil se vodoravno izstreli s pečine višine 20 m z začetno hitrostjo 50 m / s. Koliko časa traja, da se udarite ob tla? Kako daleč od podnožja pečine pristane?
(vstavi sliko 4)
Znane in neznane količine:
(vstavite tabelo 2)
Z drugo enačbo navpičnega gibanja lahko najdemo čas, ki je potreben za udar na tla:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ implicira t = \ sqrt {\ frac {(2 \ krat 20)} g} = \ podčrtaj {\ krepko {2.02} \ besedilo {s} }
Nato najti, kam pristane, xf, lahko uporabimo enačbo vodoravnega gibanja:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ podčrtaj {\ bold {101} \ text {s}}
2. primer: Žoga se izstreli s hitrostjo 100 m / s od tal pod kotom 30 stopinj glede na vodoravno ravnino. Kje pristane? Kdaj je njegova hitrost najmanjša? Na kateri lokaciji se trenutno nahaja?
(vstavite sliko 5)
Znane in neznane količine:
Najprej moramo vektor hitrosti razbiti na komponente:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ približno 86,6 \ besedilo {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ besedilo {m / s}
Tabela količin je potem:
(vstavite tabelo 3)
Najprej moramo najti čas, ko je žoga v letu. To lahko storimo z drugo vertikalno enačbo_. Upoštevajte, da s simetrijo parabole določimo, da je končni _y hitrost je negativna začetnica:
Nato določimo, kako daleč se premika v x smer v tem času:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ krat 10,2 \ približno \ podčrtaj {\ krepko {883} \ besedilo m}
S pomočjo simetrije parabolične poti lahko ugotovimo, da je hitrost najmanjša pri 5,1 s, ko je izstrelek na vrhuncu gibanja in je navpična komponenta hitrosti 0. X- in y-komponenti njenega gibanja v tem trenutku so:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ krat 5,1 \ približno \ podčrtaj {\ krepko {442} \ besedilo m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ krat5,1- \ frac 1 2 9,8 \ krat 5,1 ^ 2 \ približno \ podčrtaj {\ krepko {128} \ besedilo {m}}
Izpeljava kinematičnih enačb
Enačba št. 1: Če je pospešek konstanten, potem:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Pri reševanju hitrosti imamo:
v_f = v_i + at
Enačba št. 2: Povprečno hitrost lahko zapišemo na dva načina:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Če zamenjamo _vf _z izrazom iz enačbe # 1 dobimo:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Reševanje za xf daje:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 pri ^ 2
Enačba # 3: Začnite z reševanjem za t v enačbi # 1
v_f = v_i + at \ implicira t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Ta izraz vključite v for t v razmerju povprečne hitrosti:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implicira \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Preurejanje tega izraza daje:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)