Kako najti dy / dx z implicitno diferenciacijo glede na podobno enačbo kot y = sin (xy)

Implicitna diferenciacija je tehnika, ki se uporablja za določitev izpeljave funkcije v obliki y = f (x).

Če se želite naučiti, kako uporabljati implicitno diferenciacijo, lahko metodo uporabimo na preprostem primeru in nato raziščemo nekaj bolj zapletenih primerov.

Čeprav se sliši bolj zapleteno, implicitno razlikovanje uporablja enako matematiko in spretnosti kot osnovno razlikovanje. Pomembno pa je omeniti, da se naša odvisna spremenljivka zdaj prikaže v sami funkciji.

Vzemimo preprosto enačbo, kot je xy = 1. Obstajata dva načina, kako najti izpeljanko iz y s spoštovanjem do xali dy / dx. Najprej lahko preprosto rešimo za y v enačbi in uporabite pravilo moči za izvedene finančne instrumente. S tem bi dobili: y = 1 / x. Uporaba pravila moči bi torej razkrila, da je dy / dx = -1 / x².

To težavo lahko naredimo tudi z implicitno diferenciacijo. Na srečo odgovor že poznamo (naj bo enak, ne glede na to, kako ga izračunamo), zato lahko preverimo svoje delo!

Za začetek izvedenico uporabimo na obeh straneh enačbe xy = 1. Potem je d / dx (xy) = d / dx (1); Jasno je, da je desna stran zdaj enaka 0, toda leva stran zahteva pravilo verige. To je zato, ker jemljemo izpeljanko naše funkcije, y, medtem ko se pomnoži z drugim faktorjem x. Za izračun tega: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Z osnovnim zapisom bomo označili izpeljanko glede na x.

S ponovnim zapisovanjem enačbe dobimo: y + xy '= 0. Čas je za rešitev y ' v naši enačbi! Jasno je, da je y '= -y / x. Toda z uporabo prvotnih informacij vemo, da je y = 1 / x, zato lahko to nadomestimo nazaj. Ko to storimo, vidimo, da je y '= -1 / x², tako kot smo že našli.

Za določitev izpeljanke y = sin (xy) bomo uporabili implicitno diferenciacijo, tako da se spomnimo, da je (d / dx) y = y '.

Najprej na obe strani enačbe uporabite izpeljanko: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Leva stran enačbe je jasno y ', za kar se bomo morali rešiti, toda desna stran bo zahtevala nekaj dela; natančneje pravilo verige in pravilo izdelka. Najprej je treba za sin (xy) uporabiti pravilo verige, nato pa pravilo izdelka za argument xy. Na srečo smo to pravilo izdelka že izračunali.

Nato s poenostavitvijo dobimo: y '= cos (xy) (y + xy').

Jasno je, da je treba to enačbo rešiti y ' da bi ugotovili, kako y ' je povezano z x in y.

Ločite vse izraze z y ' na eni strani: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).

Nato odštejte y ' da dobimo: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).

Zdaj vidimo, da je y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).

Potrebna je nadaljnja poenostavitev, ker pa je naša funkcija rekurzivno definirana, priklop y = sin (xy) verjetno ne bo prinesel zadovoljive rešitve. V tem primeru so lahko koristne dodatne informacije ali bolj izpopolnjena metoda za načrtovanje teh enačb.

Najprej ne pozabite, da se implicitna diferenciacija opira na to, da je ena od spremenljivk odvisna od druge. Funkcije običajno vidimo kot y = f (x), lahko pa bi zapisali funkcijo x = f (y). Bodite previdni, ko se lotevate teh težav, da ugotovite, katera spremenljivka je odvisna od druge.

Nato ne pozabite skrbno uporabljati izpeljanih pravil. Implicitna diferenciacija bo zelo pogosto zahtevala pravilo verige, pa tudi pravilo izdelka in količnik. Pravilna uporaba teh metod bo bistvenega pomena za določitev končnega odgovora.

Na koncu rešite želeni odvod tako, da ga izolirate in čim bolj poenostavite izraze.