Pred diskusiou o ťažisku predpokladajme niekoľko parametrov. Jeden, že máte do činenia s objektom, ktorý je na povrchu Zeme, nie niekde vo vesmíre. A dva, že objekt je primerane malý - povedzme, nie vesmírna loď, ktorá je zaparkovaná na Zemi a čaká na štart. Akonáhle sú všetky tieto mimozemské vplyvy eliminované, ste v dobrej pozícii na výpočet ťažiska geometrických objektov pomocou relatívne jednoduchý vzorec - a v skutočnosti kvôli práve nastaveným podmienkam použijete rovnaký vzorec na nájdenie ťažiska ako na nájdenie ťažisko hmoty.
Ako písať o ťažisku
Ťažisko v dvojrozmernej rovine je zvyčajne označené súradnicami (xporov, rporov) alebo niekedy podľa premennýchXars barlou nad nimi. Termín „ťažisko“ sa tiež niekedy skracuje na cg.
Ako vypočítať CG trojuholníka
Vaša učebnica matematiky alebo fyziky bude mať často grafy na určenie ťažiska určitých čísel. Ale pre niektoré bežné geometrické tvary môžete použiť príslušný vzorec ťažiska a nájsť tak ťažisko tohto tvaru.
Pri trojuholníkoch leží ťažisko v bode, kde sa pretínajú všetky tri mediány. Ak začínate na jednom vrchole trojuholníka a potom nakreslíte priamku do stredu druhej strany, je to jeden medián. To isté urobte pre ďalšie dva vrcholy a bod, kde sa pretínajú všetky tri stredy, je ťažiskom trojuholníka.
A samozrejme, existuje na to vzorec. Ak súradnice ťažiska trojuholníka sú (xporov, rporov), nájdete teda jeho súradnice:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3} {3} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3} {3}
Kde (x1, r1), (X2, r2) a (x3, r3) sú súradnice troch vrcholov trojuholníka. Môžete si zvoliť, ktorému vrcholu je priradené ktoré číslo.
Vzorec ťažiska pre obdĺžnik
Všimli ste si, že na nájdenie ťažiska trojuholníka stačí priemerovať hodnotu súradníc x, potom spriemerujte hodnotu súradníc y a použite tieto dva výsledky ako súradnice vášho ťažiska?
Ak chcete nájsť ťažisko obdĺžnika, urobte presne to isté. Aby ste však výpočty ešte uľahčili, predpokladajme, že obdĺžnik je orientovaný priamo na karteziánsky tvar súradnicová rovina (takže nie je nastavená pod uhlom) a že jej ľavý dolný vrchol je na začiatku graf. V takom prípade nájdite (xporov, rporov) pre obdĺžnik, všetko, čo musíte vypočítať, je:
x_ {cg} = \ frac {\ text {width}} {2} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {\ text {výška}} {2}
Ak nechcete svoj obdĺžnik premiestniť k začiatku súradnicovej roviny alebo z akýchkoľvek dôvodov nie je presne štvorcový k súradnicových osí, môžete čeliť tomuto trochu desivejšie vyzerajúcemu, ale stále účinnému vzorcu na spriemerovanie všetkých jeho súradníc x, aby ste našli hodnotu z xporov, a spriemerujte všetky súradnice y, aby ste našli hodnotu yporov:
x_ {cg} = \ frac {x_1 + x_2 + x_3 + x_4} {4} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {y_1 + y_2 + y_3 + y_4} {4}
Ťažisková rovnica
Čo ak potrebujete vypočítať ťažisko pre tvar, ktorý vyhovuje všetkým predpokladom uvedeným vyššie (v zásade sa nesnažíte robiť doslova raketovú vedu nájdením ťažiska predmetov vo vesmíre), ale nespadá do žiadnej z vyššie spomenutých kategórií ani do grafov v zadnej časti vášho objektu učebnica? Potom môžete svoj tvar rozdeliť na známejšie tvary a pomocou nasledujúcich rovníc vyhľadať ich spoločné ťažisko:
x_ {cg} = \ frac {a_1x_1 + a_2x_2 +... + a_nx_n} {a_1 + a_2 +... + a_n} \\\ text {} \\ y_ {cg} = \ frac {a_1y_1 + a_2y_2 +... + a_ny_n} {a_1 + a_2 +... + a_n}
Alebo inak povedané, xporov rovná sa plocha rezu 1-násobok jeho umiestnenia na osi x, pridaná k ploche rezu 2-násobok jeho umiestnenia a tak ďalej, kým nepridáte súčet časov oblasti umiestnenia všetkých rezov; celú túto sumu potom vydelíme celkovou plochou všetkých sekcií. Potom urobte to isté pre y.
Otázka: Ako nájdem oblasť každej sekcie?Rozdelenie zložitého alebo nepravidelného tvaru na známejšie polygóny vám umožní vyhľadať oblasť pomocou štandardizovaných vzorcov. Napríklad, ak ste tento tvar rozdelili na obdĺžnikové kúsky, môžete pomocou vzorca dĺžka × šírka nájsť oblasť každého dielu.
Otázka: Aké je „umiestnenie“ každej sekcie?Umiestnenie každej časti je príslušná súradnica od ťažiska tejto časti. Takže ak chcete y2 (umiestnenie pre segment 2), musíte skutočne poskytnúť súradnicu y pre ťažisko tohto segmentu. To je dôvod, prečo opäť rozdelíte divne tvarovaný objekt na známejšie tvary, pretože môžete použiť už diskutované vzorce na vyhľadanie ťažiska každého tvaru a potom extrakciu príslušnej súradnice (s).
Otázka: Kam smeruje môj tvar v súradnicovej rovine?Môžete si vybrať, kde bude váš tvar ležať v súradnicovej rovine - nezabudnite, že ťažisko vašej odpovede bude vo vzťahu k rovnakému referenčnému bodu. Najjednoduchšie je umiestniť objekt do prvého kvadrantu grafu tak, aby jeho spodný okraj bol proti osi x a ľavý okraj proti osi y, takže všetky hodnoty x a y sú kladné, ale tiež dostatočne malé na to, aby boli zvládnuteľné.
Triky na nájdenie ťažiska
Ak máte do činenia s jediným objektom, niekedy nájdete všetko, čo potrebujete, aby ste našli jeho ťažisko. Napríklad, ak uvažujete o plochom disku, ťažisko bude stredom disku. Vo valci je to stred na osi valca. Pre obdĺžnik (alebo štvorec) je to bod, kde sa zbiehajú diagonálne čiary.
Možno ste si tu všimli vzor: Ak má daný objekt čiaru symetrie, bude sa na nej nachádzať ťažisko. A ak má viac osí symetrie, ťažisko bude tam, kde sa tieto osi pretínajú.
Nakoniec, ak sa snažíte nájsť ťažisko skutočne zložitého objektu, máte dve možnosti: Buď vyšľahnite svoje najlepšie integrály kalkulu (pozri Zdroje pre trojitý integrál, ktorý predstavuje ťažisko pre nejednotnú hmotnosť) alebo zadajte svoje údaje do účelovo vytvoreného ťažiska kalkulačka. (Pozri Zdroje pre príklad kalkulačky ťažiska pre rádiom riadené lietadlá.)