Ťažisko: definícia, rovnica, hľadanie (s príkladmi)

Už ste niekedy videli jedného z tých vtáčikov, ktorý je schopný balansovať na dosah ruky svojim zobákom bez toho, aby sa prevrátil, akoby kúzlom? Nie je to nijaká mágia, ktorá umožňuje vtákovi vôbec vyvážiť, ale jednoduchá fyzika spojená s ťažiskom.

Pochopenie fyziky za centrom hmoty vám umožňuje nielen pochopiť zachovanie hybnosti a ďalšie súvisiace skutočnosti fyzika, ale môže tiež informovať o stabilite a dynamike v športe, ktorý hráte, a tiež vám umožní vykonať určité kreatívne vyváženie činy.

Predmetťažisko hmoty, niekedy tiež nazývané ťažisko, možno považovať za bod, kde sa s celkovou hmotnosťou objektu alebo systému dá zaobchádzať ako s hmotnosťou bodu. V určitých situáciách sa s vonkajšími silami dá zaobchádzať, akoby pôsobili na ťažisko objektu.

Aby bol hračkársky vtáčik v rovnováhe na dosah ruky, je ťažisko pri jeho zobáku. To sa na prvý pohľad môže zdať nesprávne, a preto sa jav vyváženia javí ako magický. Pre vtáka sediaceho na konári je jeho ťažisko skutočne niekde v tele. Vyvažovacia hračka pre vtáky má ale často vážené krídla, ktoré sa tiahnu smerom von a dopredu a spôsobujú tak rozdielne vyváženie.

Ťažisko možno určiť pre jeden objekt - napríklad vyvažujúceho vtáka - alebo ho možno vypočítať pre sústavu viacerých objektov, ako uvidíte ďalej.

Na tuhom tele bude vždy jeden bod, ktorý je umiestnením ťažiska tohto tela. Poloha ťažiska objektu závisí od rozloženia hmoty.

Ak má objekt jednotnú hustotu, ľahšie sa určí jeho ťažisko. Napríklad v kruhu rovnomernej hustoty je ťažiskom stred kruhu. (To by však nebol prípad, keby bol kruh na jednej strane hustejší ako na druhej).

V skutočnosti bude ťažisko vždy v geometrickom strede objektu, keď je hustota rovnomerná. (Tento geometrický stred sa nazývaťažiskový​.)

Ak hustota nie je rovnomerná, existujú ďalšie spôsoby, ako určiť ťažisko. Niektoré z týchto metód zahŕňajú použitie kalkulu, čo je nad rámec tohto článku. Ale jedným jednoduchým spôsobom, ako určiť ťažisko tuhého objektu, je jednoducho sa pokúsiť ho vyvážiť na dosah ruky. Ťažisko bude v rovnovážnom bode.

Ďalšia metóda užitočná pre rovinné objekty je nasledovná:

• Pozastavte tvar z jedného okrajového bodu spolu s olovnicou.
• Nakreslite čiaru do tvaru, ktorý je v jednej rovine s olovnicou.
• Pozastavte tvar z iného bodu okraja spolu s olovnicou.
• Nakreslite čiaru do tvaru, ktorý je v jednej línii s novou olovnicou.
• Dve nakreslené čiary by sa mali pretínať v jednom bode.
• Tento jedinečný priesečník je umiestnením ťažiska.

U niektorých objektov je však možné, že bod rovnováhy je mimo hraníc samotného objektu. Spomeňte si napríklad na prsteň. Ťažisko pre tvar krúžku je v strede, kde už vôbec nie je žiadna časť krúžku.

Polohu ťažiska pre sústavu častíc možno považovať za ich priemernú hmotnú polohu.

Môže sa použiť rovnaká myšlienka ako pre tuhý objekt, ak si predstavíte, že tento systém častíc je spojený tuhou nehmotnou rovinou. Ťažisko by potom bolo rovnovážnym bodom tohto systému.

Na matematické určenie ťažiska sústavy častíc je možné použiť nasledujúci jednoduchý vzorec:

KdeMje celková hmotnosť systému,m_isú jednotlivé masy ar_isú ich polohové vektory.

V jednej dimenzii (pre hmoty rozložené pozdĺž priamky) môžete nahradiťrsX​.

V dvoch rozmeroch nájdeteX-koordinovaný ar- súradnica ťažiska zvlášť ako:

​Príklad 1:Nájdite súradnice ťažiska nasledujúcej sústavy častíc: častica s hmotnosťou 0,1 kg umiestnené na (1, 2), častice s hmotnosťou 0,05 kg umiestnené na (2, 4) a častice s hmotnosťou 0,075 kg umiestnené na (2, 1).

​Riešenie 1:Použite vzorec preX- súradnica ťažiska takto:

Potom použite vzorec prer- súradnica ťažiska takto:

Takže umiestnenie ťažiska je (0,079, 2,11).

​Príklad 2:Nájdite umiestnenie ťažiska rovnomerného trojuholníka s rovnomernou hustotou, ktorého vrcholy ležia v bodoch (0, 0), (1, 0) a (1/2, √3 / 2).

​Riešenie 2:Musíte nájsť geometrický stred tohto rovnostranného trojuholníka s dĺžkou strany 1. TheX-koordinátor geometrického stredu je priamy - je to jednoducho 1/2.

Ther-koordinátor je trochu zložitejší. Vyskytne sa to v mieste, kde sa priamka z vrchu trojuholníka do bodu (0, 1/2) pretína s priamkou z ktoréhokoľvek z ostatných vrcholov do stredu jednej z opačných strán. Ak načrtnete také usporiadanie, ocitnete sa s pravouhlým trojuholníkom 30-60-90, ktorého dlhá noha je 0,5 a krátka noha jer-koordinovaný. Vzťah medzi týmito stranami je √3y = 1/2, teda y = √3 / 6, a súradnice ťažiska sú (1/2, √3 / 6).

Poloha ťažiska objektu alebo systému objektov môže byť použitá ako referenčný bod pri mnohých výpočtoch fyziky.

Pri práci so systémom interagujúcich častíc napríklad nájdenie ťažiska systému umožňuje porozumenie lineárnej hybnosti. Keď sa zachová lineárna hybnosť, ťažisko systému sa bude pohybovať konštantnou rýchlosťou, aj keď sa samotné objekty od seba odrážajú.

U padajúceho tuhého objektu možno gravitáciu považovať za pôsobenie na ťažisko tohto objektu, aj keď sa tento objekt otáča.

To isté platí aj o projektiloch. Predstavte si, že hádžete kladivom a ako letí oblúkom vo vzduchu, otáča sa koniec po konci. To by sa na prvý pohľad mohlo zdať ako zložitý pohyb, ale ukázalo sa, že ťažisko kladiva sa pohybuje peknou hladkou parabolickou dráhou.

Môže sa vykonať jednoduchý experiment, ktorý to demonštruje prilepením malého kúska žiarivej pásky na ťažisko kladiva a následným odhodením kladiva podľa popisu v tmavej miestnosti. Žiarivá páska sa bude javiť ako plynulý oblúk, ktorý sa podobá hodenej guli.

Zábavný experiment s ťažiskom, ktorý môžete vykonať doma, spočíva v použití jednoduchej techniky na nájdenie ťažiska metly. Na tento experiment potrebujete iba jednu metlu a dve ruky.

Ruky držte relatívne ďaleko od seba a podržte metlu na konci dvoch prstov ukazovateľa. Potom pomaly priblížte ruky k sebe a zasuňte ich pod metlu. Keď budete posúvať ruky bližšie k sebe, môžete si všimnúť, že jedna ruka sa chce posúvať po spodnej strane rukoväti metly, zatiaľ čo druhá zostáva chvíľu zasunutá a potom sa zasunie.

Po celý čas, keď sa pohybujú vaše ruky, zostáva metla vyrovnaná. Nakoniec, keď sa vaše dve ruky stretnú, stretnú sa v mieste ťažiska metly.

Ťažisko ľudského tela sa nachádza niekde v blízkosti pupka (pupka). U mužov je stred hmoty zvyčajne o niečo vyšší, pretože nesú viac telesnej hmoty v hornej časti tela, zatiaľ čo u žien je ťažisko nižšie, pretože väčšiu hmotnosť nesú v bokoch.

Ak stojíte na jednej nohe, vaše ťažisko sa posunie smerom k tej strane chodidla, na ktorej stojíte. Môžete si všimnúť, že sa viac prikláňate k tejto strane. Je to preto, že aby ste udržali rovnováhu, vaše ťažisko musí zostať cez nohu, na ktorej balancujete, inak sa prevrátite.

Ak stojíte jednou nohou a bedrom pri stene a druhú nohu sa snažíte zdvihnúť, pravdepodobne to považujete za nemožné, pretože stena bráni tomu, aby sa vaša váha presunula cez balančnú nohu.

Ďalšou vecou, ​​ktorú môžete vyskúšať, je státie chrbtom k stene a pätami dotýkajúcimi sa steny. Potom sa pokúste predkloniť a dotknúť sa podlahy bez toho, aby ste ohli nohy. Ženy môžu byť v tejto úlohe úspešnejšie ako muži, pretože ich ťažisko je nižšie v tele a pri nakláňaní sa dopredu môžu byť stále nad prstami na nohách.

Umiestnenie ťažiska vzhľadom na základňu objektu určuje jeho stabilitu. Niečo sa považuje za stabilne vyvážené, ak sa po miernom prevrátení a následnom uvoľnení vráti späť do pôvodnej polohy namiesto toho, aby sa prevrátilo a prevrátilo.

Zvážte trojrozmerný tvar pyramídy. Ak je na svojej základni vyvážený, je stabilný. Ak jeden koniec mierne zdvihnete a pustíte, spadne späť dole. Ak sa ale pokúsite pyramídu na jej hrote vyvážiť, potom akékoľvek odchýlky od dokonalého vyváženia spôsobia jej prevrátenie.

Môžete zistiť, či objekt spadne späť do pôvodnej polohy alebo sa prevráti, a to tak, že sa pozriete na polohu ťažiska vzhľadom na základňu. Akonáhle sa ťažisko presunie za základňu, objekt sa prevráti.

Ak športujete, možno poznáte pripravenú pozíciu, kde stojíte so širokým postojom a pokrčenými kolenami. Toto udržuje vaše ťažisko na nízkej úrovni a široká základňa vás robí stabilnejším. Zvážte, ako veľmi by vás niekto musel tlačiť, aby vás prevrátil, ak ste v pripravenej polohe vs. keď stojíte rovno s nohami pri sebe.

Niektoré autá majú problémy s prevrátením pri ostrej zákrute. Je to z dôvodu umiestnenia ich ťažiska. Ak je ťažisko vozidla príliš vysoké a základňa nie je dostatočne široká, potom sa nemusí prevrhnúť veľa. Pre stabilitu vozidla je vždy najlepšie mať čo najmenšiu váhu.