„Exponenciálny rast“ je niekedy iba reč, odkaz na čokoľvek, čo rastie neprimerane alebo neuveriteľne rýchlo. V určitých prípadoch však môžete myšlienku exponenciálneho rastu brať doslovne. Napríklad populácia králikov môže rásť exponenciálne, keď sa šíri každá generácia, potom sa rozmnožujú ich potomkovia atď. Rovnako tak môžu exponenciálne rásť obchodné alebo osobné príjmy. Keď budete vyzvaní k uskutočneniu výpočtov exponenciálneho rastu v reálnom svete, budete pracovať s tromi informáciami: Počiatočná hodnota, rýchlosť rastu (alebo rozklad) a čas.
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
TL; DR (príliš dlhý; Nečítali)
Na výpočet exponenciálneho rastu použite vzorec r(t) = a__ekt, kde a je hodnota na začiatku, k je rýchlosť rastu alebo rozpadu, t je čas a r(t) je hodnota populácie v čase t.
Predstavte si, že vedec študuje rast nového druhu baktérií. Aj keď mohol do kalkulačky rastu populácie vložiť hodnoty počiatočného množstva, rýchlosti rastu a času, rozhodol sa manuálne vypočítať mieru rastu populácie baktérií.
Ak sa pozrieme späť na svoje starostlivé záznamy, vedec vidí, že jeho počiatočnou populáciou bolo 50 baktérií. O päť hodín neskôr nameral 550 baktérií.
Zadanie informácií vedca do rovnice pre exponenciálny rast alebo rozpad, r(t) = a__ekt, on má:
550 = 50_ek_5
Jedinou neznámou v rovnici je kalebo miera exponenciálneho rastu.
Začať riešiť pre k, najskôr vydeľte obe strany rovnice číslom 50. Získate tak:
550/50 = (50_ek_5) / 50, ktorý zjednodušuje:
11 = e_k_5
Ďalej vezmeme prirodzený logaritmus oboch strán, ktorý je označený ako ln (X). Získate tak:
ln (11) = ln (e_k_5)
Prirodzený logaritmus je inverzná funkcia funkcie eX, takže účinne „vracia“ eX funkcia na pravej strane rovnice, takže vám zostáva:
ln (11) = _k_5
Ďalej vydeľte obe strany číslom 5, aby ste izolovali premennú, ktorá vám poskytne:
k = ln (11) / 5
Teraz viete mieru exponenciálneho rastu pre túto populáciu baktérií: k = ln (11) / 5. Ak budete s touto populáciou robiť ďalšie výpočty - napríklad zapojením rýchlosti rastu do rovnice a odhadom veľkosti populácie na t = 10 hodín - najlepšie je nechať odpoveď v tejto podobe. Ak ale nevykonávate ďalšie výpočty, môžete túto hodnotu zadať do kalkulačky exponenciálnych funkcií - alebo do svojej vedeckej kalkulačky - a získať odhadovanú hodnotu 0,479579. V závislosti od presných parametrov experimentu ich môžete pre uľahčenie výpočtu alebo zápisu zaokrúhliť na 0,48 / hodinu.
Tipy
Ak by vaša miera rastu mala byť menej ako 1, hovorí vám to, že populácia sa zmenšuje. Toto je známe ako rýchlosť rozpadu alebo rýchlosť exponenciálneho rozpadu.