Súčin dvoch skalárnych veličín je skalárny a súčin skalárnej s vektorom je vektor, ale čo súčin dvoch vektorov? Je to skalárny alebo iný vektor? Odpoveď je, že to môže byť buď!
Existujú dva spôsoby, ako vziať vektorový produkt. Jeden je braním ich bodového súčinu, ktorý dáva skalár, a druhým je ich krížový súčin, ktorý dáva ďalší vektor. Aký produkt sa použije, závisí od konkrétneho scenára a množstva, ktoré sa snažíte nájsť.
Krížovým produktom dvoch vektorov sa získa tretí vektor, ktorý smeruje v smere kolmom na rovina preklenutá dvoma vektormi a ktorej veľkosť závisí od relatívnej kolmosti týchto dvoch vektorov vektory.
Definícia krížového produktu vektorov
Najskôr definujeme krížový produkt jednotkových vektorovi, jak(vektory veľkosti 1, ktoré ukazujú nax-, y-az-zložky smeru štandardného karteziánskeho súradnicového systému) nasledovne:
\ bold {i \ times j} = \ bold {k} \\ \ bold {j \ times k} = \ bold {i} \\ \ bold {k \ times i} = \ bold {j} \\ \ bold {i \ times i} = \ bold {j \ times j} = \ bold {k \ times k} = 0
Všimnite si, že tieto vzťahy sú antikomutatívne, to znamená, že ak zmeníme poradie vektorov, z ktorých vezmeme súčin, prevráti znak súčinu:
\ bold {j \ times i} = - \ bold {k} \\ \ bold {k \ times j} = - \ bold {i} \\ \ bold {i \ times k} = - \ bold {j}
Vyššie uvedené definície môžeme použiť na odvodenie vzorca pre krížový produkt dvoch trojrozmerných vektorov. Najskôr napíš vektoryaabnasledovne:
\ bold {a} = (a_x, a_y, a_z) = a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k} \\ \ bold {b} = (b_x, b_y, b_z) = b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ bold {k}
Vynásobením dvoch vektorov dostaneme:
\ bold {a \ times b} = (a_x \ bold {i} + a_y \ bold {j} + a_z \ bold {k}) \ times (b_x \ bold {i} + b_y \ bold {j} + b_z \ tučné {k}) \\ = a_xb_x \ bold {i \ times i} + a_xb_y \ bold {i \ times j} + a_xb_z \ bold {i \ times k} \\ + a_yb_x \ bold {j \ times i} + a_yb_y \ bold {j \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} \\ + a_zb_x \ bold {k \ krát i} + a_zb_y \ tučné {k \ krát j} + a_zb_z \ bold {k \ krát k}
Potom pomocou vyššie uvedených vzťahov jednotkových vektorov sa to zjednoduší na:
\ bold {a \ times b} = a_xb_y \ bold {i \ times j} - a_xb_z \ bold {k \ times i} - a_yb_x \ bold {i \ times j} + a_yb_z \ bold {j \ times k} + a_zb_x \ bold {k \ times i} - a_zb_y \ bold {j \ times k} \\ = (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {i \ times j} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {k \ times i} + (a_yb_z - a_zb_y) \ bold {j \ times k} \\ = (a_yb_z - a_zb_y) \ bold { i} + (a_zb_x - a_xb_z) \ bold {j} + (a_xb_y - a_yb_x) \ bold {k}
(Všimnite si, že výrazy, ktorých krížový súčin bol 0, sú výrazy, ktoré tvoria bodový súčin (nazýva sa tiež skalárny súčin)!To nie je náhoda.)
Inými slovami:
\ bold {a \ times b} = \ bold {c} = (c_x, c_y, c_z) \ text {kde} \\ c_x = a_yb_z - a_zb_y \\ c_y = a_zb_x - a_xb_z \\ c_z = a_xb_y - a_yb_x
Veľkosť krížového produktu možno zistiť pomocou Pytagorovej vety.
Vzorec krížového produktu možno tiež vyjadriť ako determinant nasledujúcej matice:
\ bold {a \ times b} = \ Bigg | \ begin {matrix} \ bold {i} & \ bold {j} & \ bold {k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \ end {matrix} \ Bigg | \\ = \ Veľký | \ begin {matrix} a_y & a_z \\ b_y & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {i} - \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_z \\ b_x & b_z \ end {matrix} \ Big | \ bold {j} + \ Big | \ begin {matrix} a_x & a_y \\ b_x & b_y \ end {matrix} \ Big | \ bold {k}
\ text {Kde je rozhodujúci} \ Big | \ begin {matrix} a & b \\ c & d \ end {matrix} \ Big | = reklama - pred
Ďalšou, často veľmi pohodlnou formuláciou krížového produktu je (odvodenie nájdete na konci tohto článku):
\ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ tučné {n}
Kde:
- |a| je veľkosť (dĺžka) vektoraa
- |b| je veľkosť (dĺžka) vektorab
- θ je uhol medzi aa b
- nje jednotkový vektor kolmý na rovinu preklenutú o aab
Kolmé vektory a pravidlo pravej ruky
V popise produktu kríženia sa uvádza, že smer produktu kríženia je kolmý na rovinu preklenutú vektoromaa vektorb. Ostávajú však dve možnosti: Môže to poukazovaťzlietadlo respdorovina preklenutá týmito vektormi. Realita je taká, že si môžeme skutočne zvoliť buď, pokiaľ budeme dôslední. Preferovaný smer, ktorý si zvolili matematici aj vedci, je však určený niečím, čo sa nazývapravidlo pravej ruky.
Ak chcete určiť smer vektorového krížového produktu pomocou pravidla pravej ruky, nasmerujte ukazovák pravej ruky do smeru vektoraaa prostredník v smere vektorab. Palec potom ukazuje v smere vektora krížového produktu.
Niekedy je ťažké tieto smery zobraziť na plochom papieri, preto sa často uplatňujú nasledujúce konvencie:
Na označenie vektora, ktorý ide na stránku, nakreslíme kruh s X (myslite na to, že predstavuje chvostové perie na konci šípky, keď sa na neho pozeráte zozadu). Aby sme označili vektor, ktorý ide zo stránky opačným smerom, nakreslíme kruh s bodkou (myslíme na to ako na špičku šípky smerujúcej von zo stránky).
•••na
Vlastnosti krížového produktu
Nasleduje niekoľko vlastností vektorového krížového produktu:
\ # \ text {1. Ak} \ bold {a} \ text {a} \ bold {b} \ text {sú rovnobežné, potom} \ bold {a \ krát b} = 0
\ # \ text {2. } \ tučné {a \ krát b} = - \ tučné {b \ krát a}
\ # \ text {3. } \ bold {a \ times (b + c)} = \ bold {a \ times b} + \ bold {a \ times c}
\ # \ text {4. } (c \ tučné {a) \ krát b} = c (\ tučné {a \ krát b})
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ bold {(a \ times b) \ cdot c}
\ text {Where} \ bold {a \ cdot (b \ times c}) = \ Bigg | \ begin {matrix} a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \ end {matrix } \ Bigg |
Geometrická interpretácia krížového produktu
Keď je vektorový krížový produkt formulovaný z hľadiska sin (θ), jeho veľkosť sa dá interpretovať ako predstavujúca oblasť rovnobežníka preklenutú dvoma vektormi. Je to preto, lebo prea × b, |b| sin (θ) = výška rovnobežníka, ako je znázornené, a |a| je základ.
•••Dana Chen | Vedenie
Veľkosť vektorového trojitého produktua (b × c) sa dá zase interpretovať ako objem rovnobežnostenu rozpätý vektormia, bac. To je preto, že(b × c) dáva vektor, ktorého veľkosť je oblasť preklenutá vektoromba vektorc, a ktorého smer je kolmý na túto oblasť. Vezmeme bodový súčin vektoraas týmto výsledkom v podstate znásobuje základnú plochu krát výšku.
Príklady
Príklad 1:Sila na časticu nábojaqpohybujúci sa rýchlosťouvv magnetickom poliBje daný:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B}
Predpokladajme, že elektrón prechádza magnetickým poľom 0,005 T rýchlosťou 2 × 107 pani. Ak prechádza kolmo poľom, potom bude cítiť túto silu:
\ bold {F} = q \ bold {v \ times B} = qvB \ sin (\ theta) \ bold {n} = (-1,602 \ krát 10 ^ {19}) (2 \ krát 10 ^ 7) (0,005 ) \ sin (90) \ tučné {n} = -1,602 \ krát 10 ^ {- 14} \ text {N} \ tučné {n}
Ak však elektrón cestuje rovnobežne s poľom, potom θ = 0 a sin (0) = 0, čím je sila 0.
Všimnite si, že pre elektrón prechádzajúci kolmo poľom táto sila spôsobí, že sa bude pohybovať po kruhovej dráhe. Polomer tejto kruhovej dráhy možno zistiť nastavením magnetickej sily rovnajúcej sa dostredivej sile a riešením polomerur:
F_ {mag} = qvB \ sin (90) = qvB = \ frac {mv ^ 2} {r} = F_ {cent} \\ \ implikuje r = \ frac {mv} {qB}
V príklade vyššie poskytuje zapojenie čísel polomer asi 0,0227 m.
Príklad 2:Fyzikálny kvantitatívny krútiaci moment sa tiež počíta pomocou vektorového krížového produktu. Ako silaFsa aplikuje na objekt v poloherz otočného bodu krútiaci momentτo otočnom bode je dané:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ krát F}
Zvážte situáciu, v ktorej je sila 7 N aplikovaná pod uhlom na koniec tyče 0,75, ktorej druhý koniec je pripevnený k čapu. Uhol medziraFje 70 stupňov, takže sa dá vypočítať krútiaci moment:
\ bold {\ tau} = \ bold {r \ times F} = rF \ sin (\ theta) = (0,75) (7) \ sin (70) \ bold {n} = 4,93 \ text {Nm} \ bold { n}
Smer krútiaceho momentu,n, sa zistí pomocou pravidla pravej ruky. Ak sa použije na vyššie uvedený obrázok, udáva smer vychádzajúci zo stránky alebo obrazovky. Krútiaci moment aplikovaný na objekt bude vo všeobecnosti chcieť spôsobiť jeho rotáciu. Vektor krútiaceho momentu bude vždy ležať v rovnakom smere ako os otáčania.
V skutočnosti je možné v tejto situácii použiť zjednodušené pravidlo pravej ruky: Pravou rukou „uchopte“ os otáčania v takým spôsobom, že sa vaše prsty krútia dookola v smere súvisiaceho s krútiacim momentom, ktorý bude chcieť spôsobiť rotáciu objektu. Palec potom ukazuje v smere vektora krútiaceho momentu.
Odvodenie vzorca medzi výrobkami
\ text {Tu si ukážeme, ako vzorec pre krížový produkt} \ bold {a × b} = | \ bold {a} | | \ bold {b} | \ sin (θ) \ bold {n} \ text {možno odvodiť.}
Zvážte dva vektoryaabs uhlomθmedzi nimi. Pravý trojuholník možno vytvoriť nakreslením čiary od hrotu vektoraana kolmý kontaktný bod na vektorb.
Pomocou Pytagorovej vety dostaneme nasledujúci vzťah:
\ Big | \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ Big | ^ 2 + (| \ bold {a} | \ sin (\ theta)) ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2
\ text {Where} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b} \ text {je projekcia vektora} \ bold {a} \ text {na vektor} \ tučné {b}.
Ak výraz trochu zjednodušíme, dostaneme nasledujúce:
\ frac {| \ bold {a \ cdot b} | ^ 2} {| \ bold {b} | ^ 2} + | \ bold {a} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold { a} | ^ 2
Ďalej vynásobte obe strany rovnice znakom |b|2 a presunutím prvého výrazu na pravú stranu získate:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 \ sin ^ 2 (\ theta) = | \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold { a \ cdot b} | ^ 2
Pri práci s pravou stranou všetko znásobte a potom zjednodušte:
| \ bold {a} | ^ 2 | \ bold {b} | ^ 2 - | \ bold {a \ cdot b} | ^ 2 = [(a_x) ^ 2 + (a_y) ^ 2 + (a_z) ^ 2 ] [(b_x) ^ 2 + (b_y) ^ 2 + (b_z) ^ 2] \\ - (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) (a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z) \\ = (a_xb_y) ^ 2 + (a_xb_z) ^ 2 + (a_yb_x) ^ 2 + (a_yb_z) ^ 2 + (a_zb_x) ^ 2 + a_zb_y) ^ 2 \\ - 2a_xa_yb_xb_y - 2a_xa_zb_xb_z - 2a_ya_zb_yb_z \\ = (a_yb_z - a_z____x__x_) (a_xb_y - a_yb_x) ^ 2 \\ = | \ bold {a \ times b} | ^ 2
Nastavením výsledku na ľavú stranu predchádzajúcej rovnice dostaneme nasledujúci vzťah:
| \ bold {a \ krát b} | = | \ bold {a} || \ bold {b} || \ sin (\ theta) |
To nám ukazuje, že veľkosti sú vo vzorci rovnaké, takže poslednou vecou, ktorú musíme urobiť, aby sme vzorec dokázali, je ukázať, že rovnaké sú aj smery. To sa dá urobiť jednoducho tak, že si vezmeme výrobky z bodkyasa × babsa × ba ukazuje, že sú 0, čo znamená, že smera × b je kolmá na obidve.