Schrodingerova rovnica je najzákladnejšia rovnica v kvantovej mechanike a naučiť sa, ako ju používať a čo to znamená, je nevyhnutné pre každého začínajúceho fyzika. Rovnica je pomenovaná po Erwinovi Schrödingerovi, ktorý v roku 1933 získal Nobelovu cenu spolu s Paulom Diracom za prínos v oblasti kvantovej fyziky.
Schrodingerova rovnica popisuje vlnovú funkciu kvantovo mechanického systému, ktorá dáva pravdepodobnostné informácie o umiestnení častice a iných pozorovateľných veličinách, ako je napr spád. Najdôležitejšie, čo si o kvantovej mechanike uvedomíte, keď sa dozviete o rovnici, je, že zákony v kvantovej oblasti súveľmi odlišnéod klasickej mechaniky.
Funkcia Wave
Vlnová funkcia je jedným z najdôležitejších pojmov v kvantovej mechanike, pretože každá častica je reprezentovaná vlnovou funkciou. Spravidla sa dáva grécke písmeno psi (Ψ) a závisí to od polohy a času. Keď máte výraz pre vlnovú funkciu častice, povie vám všetko, o čom sa dá vedieť fyzikálny systém a rôzne hodnoty pozorovateľných veličín možno získať aplikáciou operátora na to.
Druhá mocnina modulu vlnovej funkcie vám hovorí o pravdepodobnosti nájdenia častice v poloheXv danom časet. To je iba prípad, ak je funkcia „normalizovaná“, čo znamená, že súčet modulu štvorca na všetkých možných miestach sa musí rovnať 1, t. J. Že častica jeistýbyť lokalizovanýniekde.
Upozorňujeme, že vlnová funkcia poskytuje iba pravdepodobnostné informácie, a preto nemôžete predpovedať výsledok žiadneho pozorovania, hoci vymôcťurčiť priemer z mnohých meraní.
Na výpočet hodnoty môžete použiť vlnovú funkciu„Očakávaná hodnota“pre polohu častice v časet, s očakávanou hodnotou priemerná hodnotaXby ste získali, keby ste meranie opakovali mnohokrát.
Toto vám opäť nehovorí nič o konkrétnom meraní. V skutočnosti je vlnová funkcia skôr rozdelením pravdepodobnosti pre jednu časticu ako všetkým konkrétnym a spoľahlivým. Použitím príslušného operátora môžete tiež získať očakávané hodnoty pre hybnosť, energiu a ďalšie pozorovateľné veličiny.
Schrodingerova rovnica
Schrodingerova rovnica je lineárna parciálna diferenciálna rovnica, ktorá popisuje vývoj a kvantový stav podobným spôsobom ako Newtonove zákony (zvlášť druhý zákon) v klasike mechanika.
Schrodingerova rovnica je však vlnovou rovnicou pre vlnovú funkciu príslušnej častice, a preto použitie rovnice na predpovedanie budúceho stavu systému sa niekedy nazýva „vlnová mechanika“. Samotná rovnica pochádza z úspor energie a je zostavená okolo operátora nazývaného Hamiltonov.
Najjednoduchšia forma zápisu Schrodingerovej rovnice je:
H Ψ = iℏ \ frac {\ čiastočnéΨ} {\ čiastočné t}
Kde ℏ je redukovaná Planckova konštanta (tj. Konštanta delená 2π) aHje Hamiltonovský operátor, ktorý zodpovedá súčtu potenciálnej energie a kinetickej energie (celková energia) kvantového systému. Samotný hamiltonián je pomerne dlhý výraz, takže celú rovnicu možno napísať ako:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ čiastočné ^ 2 Ψ} {\ čiastočné x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ čiastočnéΨ} {\ čiastočné t}
Berúc na vedomie, že niekedy (pre výslovne trojrozmerné problémy) sa prvá parciálna derivácia píše ako laplaciánsky operátor ∇2. Hamiltonián v podstate pôsobí na vlnovú funkciu, aby opísal jej vývoj v priestore a čase. Ale v časovo nezávislej verzii rovnice (t. J. Keď na tom nezávisí systémt), hamiltonián dáva energiu systému.
Vyriešiť Schrodingerovu rovnicu znamená nájsťfunkcia kvantovej mechanickej vlnyktorý ju uspokojuje pre konkrétnu situáciu.
Časovo závislá Schrodingerova rovnica
Časovo závislá Schrodingerova rovnica je verziou z predchádzajúcej časti a popisuje vývoj vlnovej funkcie pre časticu v čase a priestore. Jednoduchým prípadom, ktorý je potrebné zvážiť, je voľná častica, pretože ide o potenciálnu energiuV.= 0 a riešenie má formu rovinnej vlny. Tieto riešenia majú formu:
Ψ = Ae ^ {kx −ωt}
Kdek = 2π / λ, λje vlnová dĺžka aω = E / ℏ.
Pre iné situácie popisuje potenciálna energia pôvodnej rovnice okrajové podmienky pre priestorová časť vlnovej funkcie a často sa delí na časovo-evolučnú funkciu a časovo nezávislú rovnica.
Časovo nezávislá Schrodingerova rovnica
V prípade statických situácií alebo riešení, ktoré tvoria stojaté vlny (napríklad potenciálna studňa, riešenie v štýle „častice v škatuli“), môžete vlnovú funkciu rozdeliť na časovú a priestorovú časť:
Ψ (x, t) = Ψ (x) f (t)
Keď to prejdete v plnom rozsahu, časovú časť je možné zrušiť a ponechať tak formu Schrodingerovej rovniceibazávisí od polohy častice. Časovo nezávislá vlnová funkcia je potom daná:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
TuEje energia kvantovo mechanického systému aHje hamiltonovský operátor. Táto forma rovnice má presnú formu rovnice vlastných čísel s vlnovou funkciou je vlastná funkcia a energia je vlastná hodnota, keď sa použije hamiltonovský operátor k tomu. Rozšírením hamiltoniánu do explicitnejšej podoby ho možno napísať v plnom znení ako:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ čiastočné ^ 2 Ψ} {\ čiastočné x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Časová časť rovnice je obsiahnutá vo funkcii:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Riešenia časovo nezávislej Schrodingerovej rovnice
Časovo nezávislá Schrodingerova rovnica sa hodí na pomerne jednoduché riešenie, pretože orezáva celú formu rovnice. Dokonalým príkladom toho je skupina riešení „častica v krabici“, kde sa predpokladá, že častica je v nekonečnej štvorcovej potenciálovej jamke v jednej dimenzii, takže existuje nulový potenciál (t.j.V.= 0) v celom objeme a nie je pravdepodobné, že by sa častica našla mimo jamky.
Existuje aj konečná štvorcová studňa, kde potenciál na „stenách“ studne nie je nekonečný, a aj keď je vyšší ako energia častice, existujeniektorémožnosť nájdenia častice mimo nej v dôsledku kvantového tunelovania. Pre potenciál nekonečného potenciálu majú riešenia formu:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
KdeĽje dĺžka studne.
Potenciál delta funkcie je veľmi podobný koncept ako potenciálna jamka, s výnimkou šírkyĽísť na nulu (t.j. byť nekonečne malý okolo jedného bodu) a hĺbka studne ísť do nekonečna, zatiaľ čo súčin týchto dvoch (U0) zostáva konštantná. V tejto veľmi idealizovanej situácii existuje iba jeden viazaný stav, daný:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
S energiou:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Atóm vodíka riešenie Schrodingerovej rovnice
Napokon má roztok vodíkových atómov zrejmé aplikácie na fyziku v reálnom svete, ale v praxi je to tak pretože elektrón okolo jadra atómu vodíka možno považovať za dosť podobný potenciálnej jamke problémy. Situácia je však trojrozmerná a je najlepšie ju opísať v sférických súradniciachr, θ, ϕ. Riešenie v tomto prípade poskytuje:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
KdePsú Legendrove polynómy,Rsú konkrétne radiálne riešenia aNje konštanta, ktorú opravíte pomocou skutočnosti, že funkcia vĺn by mala byť normalizovaná. Rovnica poskytuje energetické hladiny dané:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
KdeZtu je atómové číslo (takžeZ= 1 pre atóm vodíka),ev tomto prípade je to náboj elektrónu (nie konštantný)e = 2.7182818...), ϵ0 je permitivita voľného priestoru aμje redukovaná hmotnosť, ktorá je založená na hmotnostiach protónu a elektrónu v atóme vodíka. Tento výraz je vhodný pre akýkoľvek atóm podobný vodíku, čo znamená každú situáciu (vrátane iónov), kde okolo centrálneho jadra obieha jeden elektrón.