Riešenie záhad elektromagnetizmu bolo jedným z najväčších úspechov fyziky k dnešnému dňu a získané poznatky sú úplne obsiahnuté v Maxwellových rovniciach.
James Clerk Maxwell pomenoval tieto štyri elegantné rovnice, sú však zavŕšením desaťročí práce mnohých fyzikov, vrátane Michaela Faradaya, Andre-Marie Ampere a Carla Friedricha Gaussa - ktorí pomenujú tri zo štyroch rovníc - a mnoho ďalších iné. Zatiaľ čo sám Maxwell pridal iba výraz do jednej zo štyroch rovníc, mal nadhľad a pochopenie zhromaždiť to najlepšie z práce, ktorá sa na tejto téme urobila, a predstaviť ich spôsobom, aký dodnes používajú fyzici dnes.
Po mnoho rokov fyzici verili, že elektrina a magnetizmus sú samostatné sily a odlišné javy. Ale experimentálnou prácou ľudí ako Faraday bolo čoraz jasnejšie, že sú to vlastne dve strany rovnaký jav a Maxwellove rovnice predstavujú tento jednotný obraz, ktorý je dnes rovnako platný ako v 19. storočí storočia. Ak sa chystáte študovať fyziku na vyšších úrovniach, musíte bezpodmienečne poznať Maxwellove rovnice a ako ich používať.
Maxwellove rovnice
Maxwellove rovnice sú nasledujúce v diferenciálnej aj integrálnej forme. (Upozorňujeme, že aj keď sú tu vedomosti o diferenciálnych rovniciach užitočné, koncepčné porozumenie je možné aj bez nich.)
Gaussov zákon pre elektrinu
Diferenciálna forma:
\ bm {∇ ∙ E} = \ frac {ρ} {ε_0}
Integrálna forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Žiadny monopolný zákon / Gaussov zákon pre magnetizmus
Diferenciálna forma:
\ bm {∇ ∙ B} = 0
Integrálna forma:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {A} = 0
Faradayov zákon indukcie
Diferenciálna forma:
\ bm {∇ × E} = - \ frac {∂ \ bm {B}} {}t}
Integrálna forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {}t}
Ampere-Maxwell Law / Ampere’s Law
Diferenciálna forma:
\ bm {∇ × B} = \ frac {J} {ε_0 c ^ 2} + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂E} {∂t}
Integrálna forma:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Symboly použité v Maxwellových rovniciach
Maxwellove rovnice používajú dosť veľký výber symbolov a je dôležité pochopiť, čo to znamená, ak sa ich naučíte používať. Tu je zoznam významov použitých symbolov:
B= magnetické pole
E= elektrické pole
ρ= hustota elektrického náboja
ε0= permitivita voľného priestoru = 8,854 × 10-12 m-3 kg-1 s4 A2
q= celkový elektrický náboj (čistý súčet kladných a záporných nábojov)
𝜙B = magnetický tok
J= prúdová hustota
Ja= elektrický prúd
c= rýchlosť svetla = 2,998 × 108 pani
μ0 = priepustnosť voľného priestoru = 4π × 10−7 N / A2
Ďalej je dôležité vedieť, že ∇ je operátor del, bodka medzi dvoma veličinami (X ∙ Y.) ukazuje skalárny súčin, tučný symbol násobenia medzi dvoma veličinami je vektorový súčin (X × Y.), že operátor del s bodkou sa nazýva „divergencia“ (napr. ∇ ∙ X= divergenciaX= divX) a operátor del so skalárnym súčinom sa nazýva zvlnenie (napr. ∇× Y.= zvlnenieY.= zvlnenieY.). NakoniecAv dAznamená povrch uzavretého povrchu, pre ktorý počítate (niekedy napísaný ako dS) asv dsje veľmi malá časť hranice otvoreného povrchu, pre ktorý počítate (aj keď to je niekedy dl, s odkazom na nekonečne malú zložku čiary).
Odvodenie rovníc
Prvá rovnica Maxwellových rovníc je Gaussov zákon a uvádza sa v nej, že čistý elektrický tok cez a uzavretý povrch sa rovná celkovému náboju obsiahnutému vo vnútri tvaru vydelenému permitivitou voľného priestor. Tento zákon možno odvodiť z Coulombovho zákona po vykonaní dôležitého kroku vyjadrenia Coulombovho zákona v zmysle elektrického poľa a účinku, ktorý by mal na testovací náboj.
Druhá z Maxwellových rovníc je v podstate ekvivalentná tvrdeniu, že „neexistujú magnetické monopoly“. Konštatuje sa že čistý magnetický tok cez uzavretý povrch bude vždy 0, pretože magnetické polia sú vždy výsledkom a dipól. Zákon možno odvodiť z Biot-Savartovho zákona, ktorý popisuje magnetické pole produkované prúdovým prvkom.
Tretia rovnica - Faradayov zákon indukcie - popisuje, ako meniace sa magnetické pole vytvára napätie v slučke drôtu alebo vodiča. Pôvodne to bolo odvodené z experimentu. Avšak vzhľadom na výsledok, že meniaci sa magnetický tok indukuje elektromotorickú silu (EMF alebo napätie), a tým elektrický prúd v slučka drôtu a skutočnosť, že EMF je definovaná ako integrálna čiara elektrického poľa okolo obvodu, je ľahké dať zákon spolu.
Štvrtá a posledná rovnica, Ampereov zákon (alebo Ampere-Maxwellov zákon, ktorý mu dáva za pravdu) príspevok) popisuje, ako je magnetické pole generované pohybujúcim sa nábojom alebo meniacim sa elektrickým prúdom lúka. Zákon je výsledkom experimentu (a tak - ako všetky Maxwellove rovnice - nebol skutočne „odvodený“ v tradičnom zmysle), ale s použitímStokesova vetaje dôležitý krok k tomu, aby sa základný výsledok dostal do dnešnej podoby.
Príklady Maxwellových rovníc: Gaussov zákon
Aby sme boli úprimní, najmä ak nemáte úplne k dispozícii svoj vektorový počet, Maxwellove rovnice vyzerajú dosť skľučujúco, aj keď sú všetky pomerne kompaktné. Najlepším spôsobom, ako im skutočne porozumieť, je prejsť si príkladmi ich použitia v praxi a Gaussov zákon je tým najlepším východiskom. Gaussov zákon je v podstate fundamentálnejšou rovnicou, ktorá robí prácu Coulombovho zákona, a to je je dosť ľahké z neho odvodiť Coulombov zákon tým, že vezmeme do úvahy elektrické pole produkované bodom poplatok.
Volanie poplatkuq, kľúčovým bodom pri uplatňovaní Gaussovho zákona je výber správneho „povrchu“ na preskúmanie elektrického toku. V takom prípade dobre funguje guľa, ktorá má povrchovú plochuA = 4πr2, pretože môžete vycentrovať guľu na bodový náboj. To je obrovská výhoda pri riešení problémov, ako je tento, pretože potom nemusíte integrovať premenlivé pole naprieč povrchom; pole bude symetrické okolo bodového náboja, a tak bude konštantné na celom povrchu gule. Takže integrálna forma:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {A} = \ frac {q} {ε_0}
Môže byť vyjadrené ako:
E × 4πr ^ 2 = \ frac {q} {ε_0}
Všimnite si, žeElebo elektrické pole bolo nahradené jednoduchou veľkosťou, pretože pole z bodového náboja sa jednoducho rozšíri rovnomerne vo všetkých smeroch od zdroja. Delenie povrchovou časťou gule teraz vedie k:
E = \ frac {q} {4πε_0r ^ 2}
Pretože sila súvisí s elektrickým poľom oE = F/q, kdeqje poplatok za test,F = qE, a tak:
F = \ frac {q_1q_2} {4πε_0r ^ 2}
Kde boli pridané indexy na odlíšenie dvoch poplatkov. Toto je Coulombov zákon uvedený v štandardnej podobe, ktorý sa ukazuje ako jednoduchý dôsledok Gaussovho zákona.
Príklady Maxwellových rovníc: Faradayov zákon
Faradayov zákon umožňuje vypočítať elektromotorickú silu v slučke drôtu, ktorá je výsledkom meniaceho sa magnetického poľa. Jednoduchým príkladom je drôtová slučka s polomeromr= 20 cm, v magnetickom poli, ktorého veľkosť sa zvyšuje odBi = 1 T ažBf = 10 T v priestore ∆t= 5 s - aký je v tomto prípade indukovaný EMF? Súčasťou integrálnej formy zákona je tok:
\ int \ bm {E ∙} d \ bm {s} = - \ frac {∂ \ phi_B} {}t}
ktorý je definovaný ako:
ϕ = BA \ cos (θ)
Kľúčovou časťou problému je tu nájdenie rýchlosti zmeny toku, ale pretože problém je dosť priamy, môžete čiastočnú deriváciu nahradiť jednoduchou „zmenou“ každej veličiny. A integrál v skutočnosti znamená iba elektromotorickú silu, takže Faradayov zákon indukcie môžete prepísať takto:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA \ cos (θ)} {}t}
Ak predpokladáme, že slučka drôtu má svoju normálu zarovnanú s magnetickým poľom,θ= 0 ° a tak cos (θ) = 1. Toto ponecháva:
\ text {EMF} = - \ frac {∆BA} {}t}
Problém potom možno vyriešiť nájdením rozdielu medzi počiatočným a konečným magnetickým poľom a oblasťou slučky takto:
\ begin {zarovnané} \ text {EMF} & = - \ frac {∆BA} {∆t} \\ & = - \ frac {(B_f - B_i) × πr ^ 2} {∆t} \\ & = - \ frac {(10 \ text {T} - 1 \ text {T}) × π × (0,2 \ text {m}) ^ 2} {5 \ text {s}} \\ & = - 0,23 \ text {V } \ end {zarovnané}
Toto je len malé napätie, ale Faradayov zákon sa uplatňuje rovnakým spôsobom bez ohľadu na to.
Príklady Maxwellových rovníc: Ampere-Maxwellov zákon
Ampere-Maxwellov zákon je poslednou z Maxwellových rovníc, ktorú budete musieť pravidelne uplatňovať. Rovnica sa vráti k Ampérovmu zákonu, ak nedôjde k zmene elektrického poľa, takže je to najjednoduchší príklad. Môžete ho použiť na odvodenie rovnice pre magnetické pole, ktoré je výsledkom priameho drôtu prenášajúceho prúdJa, a tento základný príklad stačí na to, aby sa ukázalo, ako sa rovnica používa. Úplný zákon je:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I + \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {∂} {∂t} \ int \ bm {E ∙} d \ bm {A }
Ale bez zmeny elektrického poľa sa redukuje na:
\ int \ bm {B ∙} d \ bm {s} = μ_0 I
Rovnako ako v prípade Gaussovho zákona, aj keď pre povrch vyberiete kružnicu vycentrovanú na drôtenú slučku, intuícia naznačuje, že výsledné magnetické pole bude symetrický, takže integrál môžete nahradiť jednoduchým súčinom obvodu slučky a sily magnetického poľa, opúšťať:
B × 2πr = μ_0 I
Delenie na 2πrdáva:
B = \ frac {μ_0 I} {2πr}
Čo je akceptovaný výraz pre magnetické pole na diaľkurvyplývajúce z priameho drôtu vedúceho prúd.
Elektromagnetické vlny
Keď Maxwell zostavil svoj súbor rovníc, začal s ich hľadaním riešení, ktoré im pomôžu vysvetliť rôzne javov v skutočnom svete a vhľad, ktorý priniesol na svetlo, je jedným z najdôležitejších výsledkov získané.
Pretože meniace sa elektrické pole generuje magnetické pole (podľa Ampérovho zákona) a mení sa magnetické pole elektrické pole (podľa Faradayovho zákona), Maxwell zistil, že by sa mohla šíriť elektromagnetická vlna možné. Pomocou svojich rovníc našiel vlnovú rovnicu, ktorá by takúto vlnu opísala, a určil, že bude cestovať rýchlosťou svetla. Toto bol akýsi okamih „heuréky“; uvedomil si, že svetlo je forma elektromagnetického žiarenia, pracuje rovnako ako pole, ktoré si predstavoval!
Elektromagnetická vlna sa skladá z vlny elektrického poľa a vlny magnetického poľa, ktoré kmitajú dopredu a dozadu a sú navzájom vyrovnané v pravých uhloch. Oscilácia elektrickej časti vlny generuje magnetické pole a oscilácia tejto časti zase vytvára elektrické pole, ktoré sa pohybuje ďalej vesmírom.
Ako každá iná vlna, aj elektromagnetická vlna má frekvenciu a vlnovú dĺžku a ich súčin sa vždy rovnác, rýchlosť svetla. Elektromagnetické vlny sú všade okolo nás a rovnako ako viditeľné svetlo, iné vlnové dĺžky sa bežne nazývajú rádiové vlny, mikrovlny, infračervené, ultrafialové, röntgenové a gama lúče. Všetky tieto formy elektromagnetického žiarenia majú rovnakú základnú formu, ako je vysvetlené Maxwellovými rovnicami, ale ich energie sa líšia podľa frekvencie (t. J. Vyššia frekvencia znamená vyššiu energiu).
Takže pre fyzika to bol Maxwell, ktorý povedal: „Buď svetlo!“