Či už je to korčuliar, ktorý jej zaťahuje ruky a točí sa rýchlejšie, ako ona, alebo mačka, ktorá kontroluje, ako rýchlo sa točí pri páde, aby sa zabezpečilo, že dopadne na nohy, je pre fyziku rotácie rozhodujúci pojem moment zotrvačnosti pohyb.
Inak známy ako rotačná zotrvačnosť, moment zotrvačnosti je rotačný analóg hmotnosti v druhý z Newtonových pohybových zákonov, ktorý popisuje tendenciu objektu odolávať uhlovému zrýchleniu.
Koncept sa na prvý pohľad nemusí zdať príliš zaujímavý, ale v kombinácii so zákonom zachovania uhla hybnosť, možno ho použiť na opísanie mnohých fascinujúcich fyzikálnych javov a predpovedanie pohybu v širokom rozmedzí situáciách.
Definícia okamihu zotrvačnosti
Moment zotrvačnosti pre objekt popisuje jeho odolnosť voči uhlovému zrýchleniu, pričom sa zohľadňuje rozloženie hmoty okolo jeho osi otáčania.
V podstate kvantifikuje, aké ťažké je zmeniť rýchlosť rotácie objektu, či už to znamená začať jeho rotáciu, zastaviť ho alebo zmeniť rýchlosť už rotujúceho objektu.
Niekedy sa tomu hovorí rotačná zotrvačnosť a je užitočné uvažovať o ňom ako o analógu hmoty v druhom Newtonovom zákone:
Vzťahuje sa ekvivalentný výraz k druhému zákonu pre rotačný pohybkrútiaci moment (τ, rotačný analóg sily) na uhlové zrýchlenieαa moment zotrvačnostiJa:
\ tau = ja \ alfa
Ten istý objekt môže mať viac momentov zotrvačnosti, pretože zatiaľ čo veľká časť definície sa týka rozloženia hmoty, zohľadňuje aj umiestnenie osi otáčania.
Napríklad, zatiaľ čo moment zotrvačnosti pre tyč otáčajúcu sa okolo jej stredu jeJa = ML2/ 12 (kdeMje omša aĽje dĺžka tyče), rovnaká tyč otáčajúca sa okolo jedného konca má moment zotrvačnosti danýJa = ML2/3.
Rovnice pre moment zotrvačnosti
Moment zotrvačnosti tela teda závisí od jeho hmotnostiM, jeho polomerRa jeho os otáčania.
V niektorých prípadoch,Rsa označuje akod, pre vzdialenosť od osi otáčania, a v iných (ako pri tyči v predchádzajúcej časti) sa nahrádza dĺžkou,Ľ. SymbolJasa používa pre moment zotrvačnosti a má jednotky kg m2.
Ako môžete očakávať, na základe toho, čo ste sa doteraz naučili, existuje veľa rôznych rovníc pre moment zotrvačnosti a každá sa týka konkrétneho tvaru a konkrétnej osi otáčania. Vo všetkých okamihoch zotrvačnosti je termínPÁN2 sa objaví, aj keď pre rôzne tvary sú pred týmto výrazom rôzne zlomky a v niektorých prípadoch môže byť zhrnutých viac výrazov.
ThePÁN2 zložka je moment zotrvačnosti pre bodovú hmotu na diaľkuRod osi otáčania a rovnica pre konkrétne tuhé teleso sa vytvorí ako súčet bodových hmotností alebo integráciou nekonečného počtu malých bodových hmotností nad objektom.
Aj keď v niektorých prípadoch môže byť užitočné odvodiť moment zotrvačnosti objektu na základe jednoduchého aritmetického súčtu hmotností bodov alebo pomocou integrácia, v praxi existuje veľa výsledkov pre bežné tvary a osi rotácie, ktoré môžete jednoducho použiť bez toho, aby ste ich museli odvodzovať najprv:
Plný valec (os symetrie):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Plný valec (stredová os priemeru alebo priemer kruhového prierezu v strede valca):
I = \ frac {1} {4} MR ^ 2 + \ frac {1} {12} ML ^ 2
Plná guľa (stredová os):
I = \ frac {2} {5} MR ^ 2
Tenký sférický plášť (stredová os):
I = \ frac {2} {3} MR ^ 2
Obruč (os symetrie, t. J. Kolmo cez stred):
I = MR ^ 2
Obruč (os priemeru, t. J. Cez priemer kruhu tvoreného obručou):
I = \ frac {1} {2} MR ^ 2
Tyč (stredová os, kolmá na dĺžku tyče):
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Tyč (otáčajúca sa okolo konca):
I = \ frac {1} {3} ML ^ 2
Rotačná zotrvačnosť a os rotácie
Pochopenie, prečo existujú rôzne rovnice pre každú os otáčania, je kľúčovým krokom k pochopeniu konceptu momentu zotrvačnosti.
Popremýšľajte o ceruzke: Môžete ju otáčať točením okolo stredu, na konci alebo krútením okolo strednej osi. Pretože rotačná zotrvačnosť objektu závisí od rozloženia hmoty okolo osi rotácie, každá z týchto situácií je iná a vyžaduje si na jej opísanie samostatnú rovnicu.
Môžete inštinktívne porozumieť pojmu moment zotrvačnosti, ak rovnaký argument rozšírite až na 30-stopový vlajkový pól.
Točiť ho do konca by bolo veľmi ťažké - ak by ste to vôbec zvládli - zatiaľ čo točenie tyče okolo jej stredovej osi by bolo oveľa jednoduchšie. Je to tak preto, lebo krútiaci moment silno závisí od vzdialenosti od osi rotácie a v 30 stôp Príklad vlajkového pólu, točenie koncom cez koniec zahŕňa každý krajný koniec vzdialený 15 stôp od osi rotácia.
Ak to však otočíte okolo stredovej osi, všetko je celkom blízko tejto osi. Situácia je podobná tomu, ako keby ste niesli ťažký predmet na dĺžku paže vs. držiac ho pri tele alebo ovládať páčku od konca vs. blízko k opevneniu.
Preto potrebujete inú rovnicu na opísanie momentu zotrvačnosti pre ten istý objekt v závislosti od osi otáčania. Os, ktorú zvolíte, ovplyvňuje to, ako ďaleko sú časti tela od osi otáčania, aj keď hmotnosť tela zostáva rovnaká.
Využitie rovníc pre moment zotrvačnosti
Kľúčom k výpočtu momentu zotrvačnosti pre tuhé telo je naučiť sa používať a aplikovať príslušné rovnice.
Vezmime si ceruzku z predchádzajúcej časti, ktorá sa po celej dĺžke točí okolo konca okolo stredového bodu. Aj keď to nie jedokonalýtyč (špicatý hrot tento tvar láme), je možné ju tak modelovať, aby vám ušetrila čas potrebný na vyvodenie zotrvačnosti objektu.
Pri modelovaní objektu ako tyče by ste pomocou nasledujúcej rovnice našli moment zotrvačnosti v kombinácii s celkovou hmotnosťou a dĺžkou ceruzky:
I = \ frac {1} {12} ML ^ 2
Väčšou výzvou je nájdenie momentu zotrvačnosti pre zložené objekty.
Zvážte napríklad dve guľky spojené dohromady tyčou (s ktorou budeme zjednodušovať tento problém ako s bezhmotnou). Guľa jedna je 2 kg a je umiestnená 2 m od osi rotácie a guľa dva je 5 kg hmotnosti a 3 m od osi rotácie.
V tomto prípade môžete nájsť moment zotrvačnosti pre tento zložený objekt tak, že každú guľku považujete za bodovú hmotu a vychádzate zo základnej definície, ktorá:
\ begin {zarovnané} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 + m_3r_3 ^ 2…. \\ & = \ sum _ {\ mathclap {i}} m_ir_i ^ 2 \ end {zarovnané}
S dolnými indexmi jednoduché rozlišovanie medzi rôznymi objektmi (tj. Lopta 1 a lopta 2). Objekt s dvoma guľkami by potom mal:
\ begin {aligned} I & = m_1r_1 ^ 2 + m_2r_2 ^ 2 \\ & = 2 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m}) ^ 2 + 5 \; \ text {kg} × (3 \; \ text {m}) ^ 2 \\ & = 8 \; \ text {kg m} ^ 2 + 45 \; \ text {kg m} ^ 2 \\ & = 53 \; \ text {kg m} ^ 2 \ end {zarovnané}
Moment zotrvačnosti a zachovanie momentu hybnosti
Uhlová hybnosť (rotačný analóg pre lineárny moment) je definovaná ako súčin rotačnej zotrvačnosti (t. J. Moment zotrvačnosti,Ja) objektu a jeho uhlová rýchlosťω), ktorá sa meria v stupňoch / s alebo rad / s.
Nepochybne poznáte zákon zachovania lineárnej hybnosti a rovnako sa zachováva aj moment hybnosti. Rovnica pre moment hybnostiĽ) je:
L = Iω
Premýšľanie o tom, čo to v praxi znamená, vysvetľuje veľa fyzikálnych javov, pretože (pri absencii ďalších síl) platí, že čím vyššia je zotrvačnosť objektu, tým nižšia je jeho uhlová rýchlosť.
Zvážte korčuľovanie, ktoré sa točí konštantnou uhlovou rýchlosťou s vystretými rukami, a všimnite si, že jeho vystreté ruky zväčšujú polomerRo ktorom je jeho hmota rozložená, čo vedie k väčšiemu okamihu zotrvačnosti, ako keby boli jeho ruky pri tele.
AkĽ1 sa počíta s vystretými rukami aĽ2, po natiahnutí paží musí mať rovnakú hodnotu (pretože sa zachová moment hybnosti), čo sa stane, ak zníži moment zotrvačnosti vtiahnutím do paže? Jeho uhlová rýchlosťωzvyšuje ako kompenzácia.
Mačky vykonávajú podobné pohyby, aby im pri páde pomohli pristáť na nohách.
Roztiahnutím nôh a chvosta zvyšujú svoj moment zotrvačnosti a znižujú rýchlosť svojej rotácie, a naopak môžu kresliť do svojich nôh, aby znížili svoj moment zotrvačnosti a zvýšili rýchlosť otáčania. Tieto dve stratégie používajú - spolu s ďalšími aspektmi svojho „vzpriamovacieho reflexu“ - na to, aby im nohy pristáli najskôr a na časozberných fotografiách mačky môžete vidieť zreteľné fázy stočenia a natiahnutia pristátie.
Moment zotrvačnosti a rotačnej kinetickej energie
Pri pokračovaní paralel medzi lineárnym pohybom a rotačným pohybom majú objekty tiež rotačnú kinetickú energiu rovnakým spôsobom, ako majú lineárnu kinetickú energiu.
Popremýšľajte, ako sa gulička valí po zemi a rotuje okolo svojej stredovej osi a lineárne sa pohybuje vpred: Celková kinetická energia lopty je súčtom jej lineárnej kinetickej energie.Ek a jeho rotačná kinetická energiaEhniloba. Paralely medzi týmito dvoma energiami sa odrážajú v rovniciach pre obidve, pamätajúc na to, že objekt je moment zotrvačnosti je rotačný analóg hmotnosti a jeho uhlová rýchlosť je rotačný analóg lineára rýchlosťv):
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
E_ {rot} = \ frac {1} {2} Iω ^ 2
Jasne vidíte, že obe rovnice majú úplne rovnaký tvar a za rovnicu kinetickej energie rotácie sú nahradené príslušné rotačné analógy.
Pre výpočet rotačnej kinetickej energie budete samozrejme musieť nahradiť vhodný výraz pre moment zotrvačnosti objektu do priestoru preJa. Ak vezmeme do úvahy guľu a modelujeme objekt ako pevnú guľu, v tomto prípade platí rovnica:
\ begin {aligned} E_ {rot} & = \ bigg (\ frac {2} {5} MR ^ 2 \ bigg) \ frac {1} {2} ω ^ 2 \\ & = \ frac {1} {5 } MR ^ 2 ω ^ 2 \ end {zarovnané}
Celková kinetická energia (Etot) je súčet tejto a kinetickej energie lopty, takže môžete napísať:
\ begin {aligned} E_ {tot} & = E_k + E_ {rot} \\ & = \ frac {1} {2} Mv ^ 2 + \ frac {1} {5} MR ^ 2 ω ^ 2 \ end { zarovnané}
Pre 1 kg guľu pohybujúcu sa lineárnou rýchlosťou 2 m / s, s polomerom 0,3 m a s uhlovou rýchlosťou 2π rad / s, by celková energia bola:
\ begin {Zarovnané} E_ {tot} & = \ frac {1} {2} 1 \; \ text {kg} × (2 \; \ text {m / s}) ^ 2 + \ frac {1} {5 } (1 \; \ text {kg} × (0,3 \; \ text {m}) ^ 2 × (2π \; \ text {rad / s}) ^ 2) \\ & = 2 \; \ text {J} + 0,71 \; \ text {J} \\ & = 2,71 \; \ text {J} \ end {zarovnané}
V závislosti od situácie môže mať objekt iba lineárnu kinetickú energiu (napríklad guľka, z ktorej spadla výška, do ktorej sa neudelí žiadny spin) alebo iba rotačná kinetická energia (guľka sa točí, ale zostáva na svojom mieste).
Pamätajte, že jeCelkomenergia, ktorá je konzervovaná. Ak je lopta kopnutá do steny bez počiatočného otáčania a odráža sa späť nižšou rýchlosťou, ale s udeleným vývratom, rovnako ako energia stratil zvuk a teplo, keď sa dostal do kontaktu, časť počiatočnej kinetickej energie sa preniesla na rotačnú kinetickú energiu, a taknemôžepravdepodobne sa pohybujte tak rýchlo, ako to bolo predtým, ako sa odrazíte späť.
