Ako vypočítať kombinácie a permutácie

Predpokladajme, že máte n druhov predmetov a chcete vybrať ich zbierku. Možno budeme chcieť tieto položky v určitom poradí. Tieto množiny položiek nazývame permutácie. Ak na objednávke nezáleží, voláme množinu kombinácií kolekcií. Pre kombinácie aj permutácie môžete zvážiť prípad, v ktorom si vyberiete niektorý z n typov viac ako raz, ktorý sa nazýva „s opakovaním“, alebo prípad, keď vyberiete každý typ iba raz, ktorý sa nazýva „nie“ opakovanie “. Cieľom je vedieť spočítať počet možných kombinácií alebo permutácií v danej situácii.

Faktoriálna funkcia sa často používa pri výpočte kombinácií a permutácií. N! znamená N × (N – 1) ×... × 2 × 1. Napríklad 5! = 5×4×3×2×1 = 120. Počet spôsobov, ako objednať sadu položiek, je faktoriál. Vezmite tri písmená a, b a c. Pre prvé písmeno máte tri možnosti, dve pre druhé a iba jedno pre tretie. Inými slovami, celkovo 3 × 2 × 1 = 6 objednávok. Vo všeobecnosti existuje n! spôsoby, ako objednať n položiek.

Predpokladajme, že máte tri miestnosti, ktoré budete maľovať, a každá bude vymaľovaná jednou z piatich farieb: červenou (r), zelenou (g), modrou (b), žltou (y) alebo oranžovou (o). Každú farbu si môžete zvoliť toľkokrát, koľkokrát chcete. Na výber máte päť farieb pre prvú izbu, päť pre druhú a päť pre tretiu. To dáva celkom 5 × 5 × 5 = 125 možností. Všeobecne platí, že počet spôsobov, ako vybrať skupinu r položiek v konkrétnom poradí z n opakovateľných možností, je n ^ r.

Teraz predpokladajme, že každá izba bude mať inú farbu. Môžete si vybrať z piatich farieb pre prvú izbu, štyri pre druhú a len tri pre tretiu. To dáva 5 × 4 × 3 = 60, čo je náhodou 5! / 2!. Počet nezávislých spôsobov výberu r položiek v konkrétnom poradí z n neopakovateľných možností je všeobecne n! / (N – r) !.

Ďalej zabudnite na to, ktorá izba je ktorej farby. Stačí zvoliť tri nezávislé farby pre farebnú schému. Na poradí tu nezáleží, takže (červená, zelená, modrá) je rovnaká ako (červená, modrá, zelená). Pre výber troch farieb sú k dispozícii 3! spôsoby, ako si ich môžete objednať. Takže znížite počet permutácií o 3! získať 5! / (2! × 3!) = 10. Všeobecne si môžete zvoliť skupinu r položiek v ľubovoľnom poradí z výberu n neopakovateľných možností spôsobmi n! / [((N – r)! × r!]).

Nakoniec musíte vytvoriť farebnú schému, v ktorej môžete použiť ľubovoľnú farbu toľkokrát, koľkokrát chcete. Túto úlohu počítania pomáha šikovný účtovnícky kód. Použite tri X na znázornenie miestností. Váš zoznam farieb predstavuje výraz „rgbyo“. Zmiešajte X do svojho zoznamu farieb a priraďte každé X k prvej farbe naľavo od nej. Napríklad rgXXbyXo znamená, že prvá miestnosť je zelená, druhá zelená a tretia žltá. X musí mať aspoň jednu farbu vľavo, takže pre prvé X je k dispozícii päť slotov. Pretože zoznam teraz obsahuje písmeno X, existuje šesť dostupných slotov pre druhé X a sedem dostupných slotov pre tretie X. Celkovo je ich 5 × 6 × 7 = 7! / 4! spôsoby zápisu kódu. Poradie izieb je však ľubovoľné, takže jedinečných usporiadaní je skutočne iba 7! / (4! × 3!). Všeobecne si môžete zvoliť r položiek v ľubovoľnom poradí z n opakovateľných možností spôsobmi (n + r – 1)! / [(N – 1)! × r!].