Niekedy je jediný spôsob, ako sa dostať cez matematické výpočty, hrubou silou. Ale tak často môžete ušetriť veľa práce rozpoznaním špeciálnych problémov, ktoré môžete vyriešiť pomocou štandardizovaného vzorca. Nájdenie súčtu kociek a nájdenie rozdielu kociek sú dva presne uvedené príklady: Keď poznáte vzorce pre faktoringa3 + b3 aleboa3 - b3, hľadanie odpovede je také ľahké ako nahradenie hodnôt a a b do správneho vzorca.
Uvedenie do kontextu
Najprv rýchly pohľad na to, prečo možno budete chcieť vyhľadať - alebo vhodnejšie „faktor“ - sumy alebo rozdiel kociek. Keď je koncept prvýkrát predstavený, je to jednoduchý matematický problém sám o sebe. Ak ale budete pokračovať v štúdiu matematiky, neskôr sa z toho stane medzikrok v zložitejších výpočtoch. Takže ak dostanetea3 + b3 aleboa3 − b3 ako odpoveď pri iných výpočtoch môžete použiť schopnosti, ktoré sa chystáte naučiť, tieto kocky rozbiť čísla na jednoduchšie komponenty, čo často uľahčuje pokračovanie v riešení originálu problém.
Faktorovanie súčtu kociek
Predstavte si, že ste prišli na dvojčlen
x ^ 3 + 27
a žiada sa od nich, aby to zjednodušili. Prvý termín,X3, je zjavne kockové číslo. Po malom preskúmaní uvidíte, že aj druhé číslo je v skutočnosti kockované číslo: 27 je rovnaké ako 33. Teraz, keď viete, že obe čísla sú kocky, môžete použiť vzorec pre súčet kociek.
Vypíšte obe čísla v kockách, ak to tak ešte nie je. Ak chcete pokračovať v tomto príklade, mali by ste:
x ^ 3 + 27 = x ^ 3 + 3 ^ 3
Keď ste si na proces zvyknutí, môžete tento krok preskočiť a prejsť priamo k vyplneniu hodnôt z kroku 1 do vzorca. Ale najmä keď sa učíte, je najlepšie ísť krok za krokom a pripomenúť si vzorec:
a ^ 3 + b ^ 3 = (a + b) (a ^ 2 - ab + b ^ 2)
Porovnajte ľavú stranu tejto rovnice s výsledkom z kroku 1. Upozorňujeme, že môžete nahradiťXnamiestoa,a 3 namiestob.
Hodnoty z kroku 1 nahraďte vzorcom v kroku 2. Takže máte:
x ^ 3 + 3 ^ 3 = (x + 3) (x ^ 2 - 3x + 3 ^ 2)
Zatiaľ nájdete odpoveď na pravej strane rovnice. Toto je výsledok faktorovania súčtu dvoch kockovaných čísel.
Faktoring rozdielu kociek
Faktoring rozdielu dvoch kockovaných čísel funguje rovnako. Vzorec je v skutočnosti takmer totožný so vzorcom pre súčet kociek. Existuje však jeden zásadný rozdiel: Venujte zvláštnu pozornosť tomu, kam smeruje znamienko mínus.
Predstavte si, že dostanete problém
y ^ 3 - 125
a musia to zohľadniť. Ako predtým,r3 je zrejmá kocka a pri troche premýšľania by ste mali vedieť rozpoznať, že 125 je v skutočnosti 53. Takže máte:
y ^ 3 - 125 = y ^ 3 - 5 ^ 3
Rovnako ako predtým napíšte vzorec rozdielu kociek. Všimnite si, že môžete nahradiťrpreaa 5 preb, a osobitne si všimnite, kde sa v tomto vzorci nachádza znamienko mínus. Umiestnenie znamienka mínus je jediný rozdiel medzi týmto vzorcom a vzorcom pre súčet kociek.
a ^ 3 - b ^ 3 = (a - b) (a ^ 2 + ab + b ^ 2)
Vzorec znova vypíšte, tentokrát nahradením hodnôt z kroku 1. To poskytuje:
y ^ 3 - 5 ^ 3 = (y - 5) (y ^ 2 + 5y + 5 ^ 2)
Opäť, ak všetko, čo musíte urobiť, je zohľadniť rozdiel kociek, toto je vaša odpoveď.