Ako nájsť najväčší spoločný faktor dvoch čísel

Nájdenie najväčšieho spoločného faktora alebo GCF z dvoch čísel je užitočné v mnohých situáciách v matematike, ale najmä pokiaľ ide o zjednodušenie zlomkov. Ak s tým bojujete ťažko alebo hľadáte spoločných menovateľov, osvojenie si dvoch metód hľadania spoločných faktorov vám pomôže dosiahnuť to, čo ste si predsavzali. Najprv je však dobré naučiť sa základné faktory; potom sa môžete pozrieť na dva prístupy k hľadaniu spoločných faktorov. Na záver sa môžete pozrieť na to, ako uplatniť svoje znalosti na zjednodušenie zlomku.

Faktory sú čísla, ktoré násobíte tak, aby vzniklo ďalšie číslo. Napríklad 2 a 3 sú faktory 6, pretože 2 × 3 = 6. Podobne 3 a 3 sú faktory 9, pretože 3 × 3 = 9. Ako možno viete, prvočísla sú čísla, ktoré okrem faktorov seba a 1 nemajú žiadne iné faktory. 3 je teda prvočíslo, pretože jediné dve celé čísla (celé čísla), ktoré sa môžu vynásobiť a dať 3 ako odpoveď, sú 3 a 1. Rovnakým spôsobom je 7 prvočíslo, rovnako ako 13.

Z tohto dôvodu je často užitočné rozdeliť číslo na „hlavné faktory“. To znamená nájsť všetky faktory prvočísla iného čísla. V zásade rozdeľuje počet na základné „stavebné kamene“, čo je užitočný krok vpred nájdenie najväčšieho spoločného faktora dvoch čísel a je tiež neoceniteľné, pokiaľ ide o zjednodušenie štvorca korene.

Najjednoduchšou metódou na vyhľadanie najväčšieho spoločného faktora dvoch čísel je jednoducho vymenovať všetky faktory každého čísla a hľadať najvyššie číslo, ktoré obe zdieľajú. Predstavte si, že chcete nájsť najvyšší spoločný faktor 45 a 60. Najskôr sa pozrite na rôzne čísla, ktoré môžete vynásobiť tak, aby vzniklo 45.

Najjednoduchšie je začať dvoma, o ktorých viete, že budú fungovať, a to aj za prvočíslo. V tomto prípade poznáme 1 × 45 = 45, takže vieme, že 1 a 45 sú faktory 45. Toto je prvý a posledný faktor 45, takže odtiaľ stačí vyplniť. Ďalej zistite, či je 2 faktor. Je to ľahké, pretože každé párne číslo bude deliteľné 2 a akékoľvek nepárne číslo nebude. Takže vieme, že 2 nie je faktor 45. A čo 3? Mali by ste byť schopní všimnúť si, že 3 je faktor 45, pretože 3 × 15 = 45 (vždy môžete stavať na tom, čo máte vedieť, ako to vyriešiť, napríklad budete vedieť, že 3 × 12 = 36, a keď k tomu pridáte tri, vedie vás to k 45).

Ďalej je 4 faktor 45? Nie - viete 11 × 4 = 44, takže to nemôže byť! Ďalej, čo 5? Toto je ďalší jednoduchý, pretože akékoľvek číslo končiace na 0 alebo 5 je deliteľné 5. A s týmto môžete ľahko zistiť, že 5 × 9 = 45. Ale 6 nie je dobré, pretože 7 × 6 = 42 a 8 × 6 = 48. Z toho tiež vidieť, že 7 a 8 nie sú faktormi 45. Už vieme 9 a je ľahké si uvedomiť, že 10 a 11 nie sú faktory. Pokračujte v tomto procese a zistíte, že 15 je faktor, ale nič iné nie je.

Faktory 45 sú teda: 1, 3, 5, 9, 15 a 45.

U 60 rokov prechádzate úplne rovnakým procesom. Tentokrát je číslo párne (takže viete, že 2 je faktor) a deliteľné 10 (takže 5 a 10 sú obidva faktory), čo veci trochu uľahčuje. Po opätovnom absolvovaní procesu by ste mali vidieť, že faktory 60 sú: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 a 60.

Porovnanie týchto dvoch zoznamov ukazuje, že 15 je najväčší spoločný faktor 45 a 60. Táto metóda môže byť časovo náročná, ale je jednoduchá a vždy bude fungovať. Môžete tiež začať od ľubovoľného spoločného faktora, ktorý nájdete priamo, a potom jednoducho vyhľadať vyššie faktory každého čísla.

Druhou metódou hľadania GCF pre dve čísla je použitie prvočíselných faktorov. Proces primárnej faktorizácie je o niečo ľahší a štruktúrovanejší ako hľadanie všetkých faktorov. Prejdime si proces pre 42 a 63.

Proces prvostupňovej faktorizácie v zásade spočíva v rozdelení čísla, kým vám nezostanú iba prvočísla. Najlepšie je začať s najmenšími prvočíslami (dvoma) a pracovať odtiaľ. Takže pre 42 je ľahké vidieť, že 2 × 21 = 42. Potom pracujte od 21: Je faktor 2? Nie. Je 3? Áno! 3 × 7 = 21 a 3 a 7 sú prvočísla. To znamená, že prvoradé faktory 42 sú 2, 3 a 7. Prvý „brejk“ použil 2 na 21 a druhý to rozdelil na 3 a 7. Môžete to skontrolovať vynásobením všetkých svojich faktorov a kontrolou, či získate pôvodné číslo: 2 × 3 × 7 = 42.

Pre 63 nie je 2 faktor, ale 3 je, pretože 3 × 21 = 63. Opäť platí, že 21 sa rozpadá na 3 a 7 - obe prime - takže poznáte hlavné faktory! Kontrola ukazuje, že podľa potreby 3 × 3 × 7 = 63.

Najvyšší spoločný faktor nájdete, keď sa pozriete na to, ktoré prvočíselné faktory majú tieto dve čísla spoločné. V tomto prípade 42 má 2, 3 a 7 a 63 má 3, 3 a 7. Majú spoločné 3 a 7. Ak chcete nájsť najvyšší spoločný faktor, vynásobte všetky spoločné prvočíselné faktory. V tomto prípade je 3 × 7 = 21, takže 21 je najväčší spoločný faktor 42 a 63.

Aj predchádzajúci príklad je možné vyriešiť týmto spôsobom rýchlejšie. Pretože 45 je deliteľné tromi (3 × 15 = 45) a 15 je tiež deliteľné tromi (3 × 5 = 15), prvočíselnými faktormi čísla 45 sú 3, 3 a 5. Pre 60 je to deliteľné dvoma (2 × 30 = 60), 30 je deliteľné tiež dvoma (2 × 15 = 30), a potom vám zostáva 15, o ktorých vieme, že majú tri a päť ako hlavné faktory, odchádzajúce 2, 2, 3 a 5. Pri porovnaní týchto dvoch zoznamov sú tri a päť spoločné prvočíselné faktory, takže najväčší spoločný faktor je 3 × 5 = 15.

V prípade, že existujú tri alebo viac spoločných prvočíselných faktorov, všetky ich znásobíte rovnakým spôsobom, aby ste našli najväčší spoločný činiteľ.

Ak máte k dispozícii zlomok ako 32/96, môže byť výpočet, ktorý nasleduje po ňom, veľmi komplikovaný, pokiaľ nenájdete spôsob, ako tento zlomok zjednodušiť. Nájdenie najnižšieho spoločného faktora 32 a 96 vám povie číslo, o ktoré sa vydelíte, aby ste získali jednoduchší zlomok. V tomto prípade:

Pre 96 proces poskytuje:

Malo by byť zrejmé, že 2⁵ = 32 je najvyšší spoločný faktor. Vydelením oboch častí zlomku číslom 32 získate:

Hľadanie spoločných menovateľov je podobný proces. Predstavte si, že ste museli pridať zlomky 15/45 a 40/60. Z prvého príkladu vieme, že 15 je najvyšší spoločný faktor 45 a 60, takže ich môžeme okamžite vyjadriť ako 5/15 a 10/15. Pretože 3 × 5 = 15 a obidve čitateľky sú tiež deliteľné piatimi, môžeme obe časti oboch zlomkov vydeliť piatimi, aby sme dostali 1/3 a 2/3. Teraz sa oveľa ľahšie pridávajú a vidia to