Pravidlá pre dĺžku strán trojuholníka

Euklidovská geometria, základná geometria vyučovaná v škole, vyžaduje určité vzťahy medzi dĺžkami strán trojuholníka. Jeden nemôže jednoducho vziať tri náhodné úsečky a vytvoriť trojuholník. Úsečky musia vyhovovať vetám o nerovnosti trojuholníka. Ďalšie vety, ktoré definujú vzťahy medzi stranami trojuholníka, sú Pytagorova veta a zákon kosínov.

Podľa vety o nerovnosti prvého trojuholníka musia byť dĺžky ľubovoľných dvoch strán trojuholníka súčet viac ako dĺžka tretej strany. To znamená, že nemôžete nakresliť napríklad trojuholník, ktorý má bočné dĺžky 2, 7 a 12, pretože 2 + 7 je menší ako 12. Aby ste to dosiahli intuitívne, predstavte si najskôr nakreslenie úsečky dlhej 12 cm. Teraz myslite na ďalšie dva líniové segmenty dlhé 2 cm a 7 cm pripevnené k dvom koncom 12 cm segmentu. Je zrejmé, že by nebolo možné dosiahnuť, aby sa oba koncové segmenty stretli. Museli by si pripočítať najmenej 12 cm.

Najdlhšia strana v trojuholníku je oproti najväčšiemu uhlu. Toto je ďalšia veta o trojuholníku nerovnosti a má intuitívny zmysel. Môžete z toho vyvodiť rôzne závery. Napríklad v tupom trojuholníku musí byť najdlhšia strana naprieč tupým uhlom. Platí to aj naopak. Najväčší uhol v trojuholníku je ten, ktorý je naprieč od najdlhšej strany.

Pytagorova veta uvádza, že v pravom trojuholníku sa štvorec dĺžky prepočtu (bočná strana z pravého uhla) rovná súčtu štvorcov ostatných dvoch strán. Takže ak je dĺžka prepony c a dĺžky ostatných dvoch strán sú a a b, potom c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. Toto je starodávna veta, ktorá je známa už tisíce rokov a používajú ju stavitelia a matematici po celé veky.

Zákon kosínov je zovšeobecnená verzia Pytagorovej vety, ktorá platí pre všetky trojuholníky, nielen pre tie s pravými uhlami. Podľa tohto zákona, ak mal trojuholník strany dĺžky a, b a c, a uhol oproti strane dĺžky c je C, potom c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2abcosC. Môžete vidieť, že keď je C 90 stupňov, cosC = 0 a zákon kosínov sa redukuje na Pytagorovu vetu.