Polygón je každá uzavretá dvojrozmerná postava s 3 alebo viacerými rovnými (nie zakrivenými) stranami a 12-stranný mnohouholník je známy ako dodekagon. Bežný dodekagon je ten, ktorý má rovnaké strany a uhly a je možné z neho odvodiť vzorec na výpočet jeho plochy. Nepravidelný dodekagon má strany rôznych dĺžok a rôznych uhlov. Príkladom je šesťcípa hviezda. Nie je jednoduchý spôsob, ako vypočítať plochu nepravidelného 12-stranného obrazca, pokiaľ ho náhodou nemáte zakreslený do grafu a nedokážete prečítať súradnice každého z vrcholov. Ak nie, najlepšou stratégiou je rozdeliť figúru na pravidelné tvary, pre ktoré môžete vypočítať plochu.
Výpočet plochy pravidelného 12-stranného mnohouholníka
Ak chcete vypočítať plochu pravidelného dodekagónu, musíte nájsť jeho stred a najlepší spôsob, ako to urobiť, je nakresliť okolo neho kruh, ktorý sa len dotkne každého z jeho vrcholov. Stred kruhu je stredom dodekagónu a vzdialenosť od stredu figúry po každý z jej vrcholov je jednoducho polomerom kruhu (r). Každá z 12 strán figúry má rovnakú dĺžku, preto ju označte znakoms.
Potrebujete ešte jedno meranie, a to je dĺžka kolmej čiary vedenej od stredu každej strany k stredu 12-stranného tvaru. Táto línia je známa ako apotém. Označte jeho dĺžku om. Rozdeľuje každú časť tvorenú čiarami polomeru na dva pravouhlé trojuholníky. Ty neviešm, ale nájdete ho pomocou Pytagorovej vety.
Dvanásť polomerových čiar rozdeľuje kruh, ktorý ste napísali okolo dodekagónu, na 12 rovnakých častí, takže v strede obrázku je uhol, ktorý každá čiara zviera s ďalšou čiarou, 30 stupňov. Každá z 12 častí tvorených polomermi je vytvorená z dvojice pravouhlých trojuholníkov s preponoura jeden uhol 15 stupňov. Strana susediaca s uhlom jem, takže ho nájdete pomocou r a sínusu uhla.
\ sin (15) = \ frac {m} {r} \, \ text {a riešenie pre} m \\ m = r × \ sin (15)
Teraz môžete nájsť oblasť každého z rovnoramenných trojuholníkov vpísaných do dodekagónu, pretože poznáte dĺžku základne - ktorá jes- a výška,m. Plocha každého trojuholníka je
\ begin {aligned} \ text {area} & = \ frac {1} {2} × \ text {base} × \ text {height} \\ & = \ frac {1} {2} × s × m \\ & = 1/2 × (s × r × \ sin (15)) \ end {zarovnané}
Existuje 12 takýchto častí, vynásobte ich teda 12 a nájdite celkovú plochu pravidelného 12-stranného tvaru:
\ text {Plocha pravidelného dodekagónu} = 6 × (s × r × \ sin (15))
Nájdenie oblasti nepravidelného dodekagónu
Nie je k dispozícii žiadny vzorec na zistenie oblasti nepravidelného dodekagónu, pretože dĺžky strán a uhly nie sú rovnaké. Je dokonca ťažké presne určiť stred. Najlepšou stratégiou je rozdeliť figúru na pravidelné tvary, vypočítať plochu každého z nich a pridať ich.
Ak je tvar zakreslený do grafu a poznáte súradnice vrcholov, existuje vzorec, pomocou ktorého môžete vypočítať plochu. Ak každý bod (n) je definované (Xn, rn), a pôjdete okolo obrázka tak, aby ste získali sériu 12 bodov v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek, oblasť je:
\ text {Plocha} = \ frac {| (x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) +... + (x_ {11} y_ {12} - y_ {11} x_ {12}) + (x_ {12} y_1 - y_ {12} x_1) |} {2}