Predstavte si, že ste posádkou dela, ktorého cieľom je rozbiť hradby nepriateľského hradu, aby vaša armáda mohla vtrhnúť a získať víťazstvo. Ak viete, ako rýchlo sa lopta pohybuje, keď opustí delo, a viete, ako ďaleko sú steny, aký uhol spustenia potrebujete na vystrelenie z dela, aby ste mohli úspešne zasiahnuť steny?
Toto je príklad problému s pohybom strely a tento a mnoho podobných problémov môžete vyriešiť pomocou rovníc konštantného zrýchlenia kinematiky a niektorej základnej algebry.
Pohyb strelyje to, ako fyzici popisujú dvojrozmerný pohyb, kde jediné zrýchlenie, ktoré predmetný objekt zažije, je neustále zrýchlenie smerom nadol v dôsledku gravitácie.
Na povrchu Zeme neustále zrýchleniearovná sag= 9,8 m / s2a objekt, ktorý prechádza pohybom strely, je vvoľný páds tým ako jediným zdrojom zrýchlenia. Vo väčšine prípadov to bude trvať cestou paraboly, takže pohyb bude mať horizontálnu aj vertikálnu zložku. Aj keď by to malo v reálnom živote (obmedzený) efekt, našťastie väčšina problémov s pohybom projektilov fyziky na strednej škole ignoruje vplyv odporu vzduchu.
Problémy s pohybom projektilu môžete vyriešiť pomocou hodnotyga niektoré ďalšie základné informácie o aktuálnej situácii, napríklad počiatočná rýchlosť strely a smer, ktorým sa pohybuje. Naučiť sa riešiť tieto problémy je nevyhnutné pre absolvovanie väčšiny úvodných hodín fyziky a zoznámi vás s najdôležitejšími konceptmi a technikami, ktoré budete potrebovať aj v ďalších kurzoch.
Rovnice pohybu projektilov
Rovnice pre pohyb strely sú rovnice konštantného zrýchlenia z kinematiky, pretože gravitačné zrýchlenie je jediný zdroj zrýchlenia, ktorý musíte brať do úvahy. Štyri hlavné rovnice, ktoré budete musieť vyriešiť pri riešení akýchkoľvek problémov s pohybom projektilu, sú:
v = v_0 + at \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} at ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2as
Tu,vznamená rýchlosť,v0 je počiatočná rýchlosť,aje zrýchlenie (ktoré sa rovná zrýchleniu smerom nadol z)gpri všetkých problémoch s pohybom projektilu),sje posunutie (z počiatočnej polohy) a ako vždy máte čas,t.
Tieto rovnice sú technicky iba pre jednu dimenziu a skutočne by ich bolo možné reprezentovať vektorovými veličinami (vrátane rýchlosti)vpočiatočná rýchlosťv0 a tak ďalej), ale v praxi môžete tieto verzie použiť samostatne, raz vX-smer a raz vr-smer (a ak ste niekedy mali trojrozmerný problém, vz-smer tiež).
Je dôležité mať na pamäti, že súpoužíva sa iba na neustále zrýchlenie, čo ich robí dokonalými na popis situácií, kde je jediný vplyv gravitácie zrýchlenie, ale nevhodné pre mnohé situácie v reálnom svete, kde je potrebné použiť ďalšie sily zvážené.
V základných situáciách je to všetko, čo musíte opísať pohyb objektu, ale v prípade potreby môžete zahrnúť aj iné faktory, ako je výška, z ktorej bol projektil vystrelený, alebo ich dokonca vyriešte pre najvyšší bod strely na jeho cesta.
Riešenie problémov s pohybom projektilov
Teraz, keď ste videli štyri verzie formule pohybu strely, na ktoré budete musieť použiť vyriešiť problémy, môžete začať uvažovať o stratégii, ktorú používate na riešenie pohybu strely problém.
Základným prístupom je rozdelenie problému na dve časti: jednu pre horizontálny pohyb a druhú pre vertikálny pohyb. Odborne sa tomu hovorí vodorovná zložka a zvislá zložka a každá z nich má zodpovedajúcu množinu veličiny, ako napríklad horizontálna rýchlosť, vertikálna rýchlosť, horizontálny posun, vertikálny posun a tak ďalej.
S týmto prístupom môžete použiť kinematickú rovnicu s uvedením toho časutje rovnaká pre horizontálne aj vertikálne komponenty, ale veci ako začiatočná rýchlosť budú mať rôzne komponenty pre počiatočnú vertikálnu rýchlosť a počiatočnú horizontálnu rýchlosť.
Rozhodujúce je pochopiť, že pre dvojrozmerný pohybakýkoľvekuhol pohybu možno rozdeliť na vodorovnú a zvislú zložku, ale keď urobíte to, bude existovať jedna horizontálna verzia príslušnej rovnice a jedna vertikálna verzia.
Zanedbanie účinkov odporu vzduchu masívne zjednodušuje problémy s pohybom projektilov, pretože vodorovný smer ich nikdy nemá zrýchlenie pri probléme s pohybom strely (voľný pád), pretože vplyv gravitácie pôsobí iba vertikálne (t.j. smerom k povrchu Zem).
To znamená, že zložka horizontálnej rýchlosti je iba konštantná rýchlosť a pohyb sa zastaví iba vtedy, keď gravitácia zníži projektil na úroveň zeme. To možno použiť na určenie času letu, pretože to úplne závisí odr-smerový pohyb a dá sa úplne vypočítať na základe vertikálneho posunutia (t. j. časutkeď je vertikálny posun nulový, hovorí vám čas letu).
Trigonometria v problémoch pohybov projektilov
Ak vám daný problém poskytuje začiatočný uhol a počiatočnú rýchlosť, budete musieť na vyhľadanie zložiek vodorovnej a zvislej rýchlosti použiť trigonometriu. Keď to urobíte, môžete problém skutočne vyriešiť pomocou metód uvedených v predchádzajúcej časti.
V zásade vytvoríte pravouhlý trojuholník s preponou naklonenou v uhle spustenia (θ) a veľkosť rýchlosti ako dĺžka a potom susedná strana je vodorovná zložka rýchlosti a opačná strana zvislá rýchlosť.
Nakreslite pravouhlý trojuholník podľa pokynov a uvidíte, že vodorovné a zvislé komponenty nájdete pomocou trigonometrických identít:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {susedný}} {\ text {hypotenuse}}
\ text {sin} \; θ = \ frac {\ text {oproti}} {\ text {hypotenuse}}
Môžu byť teda znova usporiadané (a s opačným =vr a susedné =vXtj vertikálna zložka rýchlosti a zložka vodorovnej rýchlosti a prepona =v0(počiatočná rýchlosť) dať:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Toto je celá trigonometria, ktorú budete musieť urobiť, aby ste vyriešili problémy s pohybom projektilu: zapojte uhol spustenia do rovnica pomocou sínusových a kosínusových funkcií vo vašej kalkulačke a vynásobením výsledku počiatočnou rýchlosťou projektil.
Na ukážku tohto príkladu, s počiatočnou rýchlosťou 20 m / s a uhlom vypálenia 60 stupňov, sú tieto komponenty:
\ begin {zarovnané} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17,32 \; \ text {m / s} \ end {zarovnaný}
Príklad problému s pohybom projektilu: explodujúci ohňostroj
Predstavte si, že ohňostroj má poistku navrhnutú tak, aby explodovala v najvyššom bode svojej dráhy, a je odpálený počiatočnou rýchlosťou 60 m / s pod uhlom 70 stupňov k horizontále.
Ako by ste sa dopracovali k akej výškehexploduje o? A aký by bol čas od uvedenia na trh, keď exploduje?
Toto je jeden z mnohých problémov, ktoré zahŕňajú maximálnu výšku strely, a trikom na ich riešenie je poznamenanie, že pri maximálnej výšker- zložka rýchlosti je 0 m / s za okamih. Pripojením tejto hodnoty kvr a výberom najvhodnejšej z kinematických rovníc môžete ľahko vyriešiť tento a akýkoľvek podobný problém.
Najskôr pri pohľade na kinematické rovnice táto vyskočí (s pridanými dolnými indexmi, ktoré ukazujú, že pracujeme vo vertikálnom smere):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Táto rovnica je ideálna, pretože už poznáte zrýchlenie (ar = -g), počiatočnú rýchlosť a uhol spustenia (aby ste mohli vypočítať vertikálnu zložku.)vy0). Pretože hľadáme hodnotusr (t. j. výškah) kedyvr = 0, môžeme finálnou zložkou vertikálnej rýchlosti dosadiť nulu a znova ju usporiadaťsr:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Pretože má zmysel volať smerom horera od gravitačného zrýchleniagje nasmerovaný nadol (tj. v -rsmer), môžeme zmeniťar pre -g. Nakoniec volaniesr výškah, môžeme napísať:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Na vyriešenie problému teda musíte vypracovať iba vertikálnu zložku počiatočnej rýchlosti, ktorú môžete urobiť pomocou trigonometrického prístupu z predchádzajúcej časti. Takže s informáciami z otázky (60 m / s a 70 stupňov k horizontálnemu spusteniu) to dáva:
\ begin {zarovnané} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56,38 \; \ text {m / s} \ end {zarovnané}
Teraz môžete vyriešiť maximálnu výšku:
\ begin {zarovnané} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56,38 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 9,8 \; \ text {m / s} ^ 2} \\ & = 162,19 \ text {m} \ end {zarovnaný}
Ohňostroj teda exploduje zhruba 162 metrov od zeme.
Pokračovanie príkladu: čas letu a ubehnutá vzdialenosť
Po vyriešení základov pohybovej úlohy strely založenej čisto na vertikálnom pohybe je možné zvyšok problému ľahko vyriešiť. Najskôr je možné zistiť čas od vypálenia poistky pomocou jednej z ďalších rovníc konštantného zrýchlenia. Pri pohľade na možnosti, nasledujúci výraz:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
má čast, čo chcete vedieť; výtlak, ktorý poznáte pre maximálny bod letu; počiatočná vertikálna rýchlosť; a rýchlosť v čase maximálnej výšky (o ktorej vieme, že je nulová). Na základe toho je možné rovnicu usporiadať tak, aby poskytovala výraz pre čas letu:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Takže vkladanie hodnôt a riešenie pretdáva:
\ begin {zarovnané} t & = \ frac {2 × 162,19 \; \ text {m}} {56,38 \; \ text {m / s}} \\ & = 5,75 \; \ text {s} \ end {zarovnané}
Ohňostroj teda exploduje 5,75 sekundy po štarte.
Nakoniec môžete ľahko určiť horizontálnu prejdenú vzdialenosť na základe prvej rovnice, ktorá (v horizontálnom smere) uvádza:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Poznamenáva však, že v systéme nedochádza k akcelerácii;X-smer, toto je jednoducho:
v_x = v_ {0x}
To znamená, že rýchlosť vXsmer je rovnaký počas celej cesty ohňostroja. Vzhľadom na tov = d/t, kdedje ubehnutá vzdialenosť, je ľahké to vidieťd = vt, a tak v tomto prípade (ssX = d):
s_x = v_ {0x} t
Takže môžete vymeniťv0x s trigonometrickým výrazom zo skôr zadajte hodnoty a vyriešte:
\ begin {zarovnané} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5,75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ text {m} \ end {zarovnané}
Bude teda cestovať asi 118 m pred výbuchom.
Dodatočný problém s pohybom projektilu: Dudov ohňostroj
Pre ďalšie riešenie problému si predstavte ohňostroj z predchádzajúceho príkladu (začiatočná rýchlosť 60 m / s.) pri 70 stupňoch k horizontále) nevybuchla na vrchole svojej paraboly a namiesto toho pristála na zemi nevybuchnutý. Môžete v takom prípade vypočítať celkový čas letu? Ako ďaleko od miesta štartu v horizontálnom smere pristane, alebo inými slovami, čo je torozsahprojektilu?
Tento problém funguje v zásade rovnako, keď sú vertikálne zložky rýchlosti a posunu hlavné veci, ktoré musíte vziať do úvahy pri určovaní času letu, a z toho môžete určiť rozsah. Namiesto toho, aby ste riešenie podrobne prepracovali, môžete to vyriešiť sami na základe predchádzajúceho príkladu.
Existujú vzorce pre rozsah strely, ktoré môžete vyhľadať alebo odvodiť z rovníc konštantného zrýchlenia, ale nie je to tak. naozaj potrebné, pretože maximálnu výšku projektilu už poznáte, a od tohto momentu je efekt efektu voľný pád gravitácia.
To znamená, že môžete určiť čas, ktorý ohňostroj trvá, kým spadne späť na zem, a potom ho pridať k času letu do maximálnej výšky, aby ste určili celkový čas letu. Od tej doby je to rovnaký proces, pri ktorom sa na určenie rozsahu použije konštantná rýchlosť v horizontálnom smere pozdĺž času letu.
Ukážte, že čas letu je 11,5 sekundy a dosah je 236 m. Upozorňujeme, že budete musieť vypočítať vertikálnu zložku rýchlosti v bode, ktorý dopadne na zem ako medziprodukt krok.