Jarná konštanta (Hookov zákon): Čo to je a ako vypočítať (s jednotkami a vzorcom)

Keď stlačíte alebo roztiahnete pružinu - alebo akýkoľvek elastický materiál - budete okamžite vedieť, čo sa chystá sa stane, keď uvoľníte pôsobiacu silu: Pružina alebo materiál sa vrátia do pôvodného stavu dĺžka.

Je to, akoby na jar pôsobila „obnovovacia“ sila, ktorá zabezpečí, že sa vráti do svojho prirodzeného, ​​nestlačeného a neroztiahnutého stavu po uvoľnení napätia, ktoré na materiál pôsobíte. Toto intuitívne pochopenie - že sa elastický materiál vráti do svojej rovnovážnej polohy po odstránení akejkoľvek použitej sily - kvantifikuje oveľa presnejšieHookeov zákon​.

Hookeov zákon je pomenovaný podľa jeho tvorcu, britského fyzika Roberta Hooke, ktorý v roku 1678 uviedol, že „rozšírenie je úmerné sila. “ Zákon v zásade popisuje lineárny vzťah medzi predĺžením pružiny a obnovovacou silou, ktorá v nej vyvoláva jar; inými slovami, na natiahnutie alebo stlačenie pružiny je potrebné dvojnásobné množstvo sily.

Zákon, aj keď je veľmi užitočný v mnohých elastických materiáloch, nazývaných „lineárne elastické“ alebo „hákove“ materiály, sa nevzťahuje na

Rovnako ako mnohé aproximácie vo fyzike, je Hookeov zákon užitočný aj pri ideálnych pružinách a mnohých elastických materiáloch až po ich „hranicu proporcionality“. Thekľúčovou konštantou proporcionality v zákone je jarná konštanta, a naučiť sa, čo vám to hovorí, a naučiť sa, ako to vypočítať, je nevyhnutné na uvedenie Hookeovho zákona do praxe.

Jarná konštanta je kľúčovou súčasťou Hookeovho zákona, takže aby ste pochopili túto konštantu, musíte najskôr vedieť, čo je Hookeov zákon a čo hovorí. Dobrou správou je, že ide o jednoduchý zákon, ktorý popisuje lineárny vzťah a má podobu základnej lineárnej rovnice. Vzorec Hookovho zákona konkrétne súvisí so zmenou predĺženia pružiny,X, do obnovovacej sily,F, vygenerované v ňom:

Mimoriadny termín,k, je jarná konštanta. Hodnota tejto konštanty závisí od vlastností konkrétnej pružiny, ktorú je možné v prípade potreby priamo odvodiť z vlastností pružiny. V mnohých prípadoch - najmä na úvodných hodinách fyziky - vám však bude jednoducho poskytnutá hodnota pre jarnú konštantu, aby ste mohli pokračovať v riešení daného problému. Je tiež možné priamo vypočítať pružinovú konštantu pomocou Hookeovho zákona, za predpokladu, že poznáte rozšírenie a veľkosť sily.

„Veľkosť“ vzťahu medzi predĺžením a vratnou silou pružiny je zapuzdrená v hodnote konštanty pružiny,k. Konštanta pružiny ukazuje, koľko sily je potrebné na stlačenie alebo predĺženie pružiny (alebo kúska elastického materiálu) o danú vzdialenosť. Ak premýšľate o tom, čo to znamená z hľadiska jednotiek, alebo ak si pozriete Hookov zákon, môžete vidieť, že pružinová konštanta má jednotky sily na vzdialenosť, teda v jednotkách SI, newtonoch / meter.

Hodnota konštanty pružiny zodpovedá vlastnostiam konkrétnej uvažovanej pružiny (alebo iného typu pružného predmetu). Vyššia konštanta pružiny znamená tuhšiu pružinu, ktorá sa ťažšie napína (pretože pre daný posunX, výsledná silaFbude vyššia), zatiaľ čo voľnejšia pružina, ktorá sa ľahšie roztiahne, bude mať nižšiu konštantu pružiny. Stručne povedané, konštanta pružiny charakterizuje elastické vlastnosti príslušnej pružiny.

Elastická potenciálna energia je ďalším dôležitým konceptom súvisiacim s Hookeovým zákonom a charakterizuje ju uložené na pružine, keď je natiahnutá alebo stlačená, čo umožňuje, aby pri uvoľnení pôsobila vratnou silou koniec. Stlačením alebo predĺžením pružiny sa energia, ktorú odovzdáte, transformuje na elastický potenciál, a to aj vtedy, keď vy keď ju uvoľníme, energia sa prevedie na kinetickú energiu, keď sa pružina vráti do svojej rovnovážnej polohy.

V Hookovom zákone si bezpochyby všimli znamienko mínus. Ako vždy, výber „pozitívneho“ smeru je vždy v konečnom dôsledku ľubovoľný (osi môžete nastaviť tak, aby bežali ľubovoľným smerom a fyzika funguje úplne rovnako), ale v tomto prípade je záporné znamienko pripomienkou, že sila je obnova sila. „Obnovovacia sila“ znamená, že pôsobením sily je návrat pružiny do jej rovnovážnej polohy.

Ak nazývate rovnovážnu polohu konca pružiny (tj. „Prirodzenú“ polohu bez pôsobenia síl)X= 0, potom predĺženie pružiny povedie k pozitívnemu výsledkuX, a sila bude pôsobiť v negatívnom smere (t. j. späť smerom kX= 0). Na druhej strane kompresia zodpovedá zápornej hodnote preX, a potom sila pôsobí v pozitívnom smere, opäť smerom kX= 0. Bez ohľadu na smer posunutia pružiny záporné znamienko popisuje silu, ktorá ju posúva späť v opačnom smere.

Jar sa samozrejme nemusí hýbaťXsmer (rovnako dobre by sa dalo napísať Hookeov zákon sralebozna jeho mieste), ale vo väčšine prípadov sú problémy spojené so zákonom v jednej dimenzii, a tomu sa hovoríXpre pohodlie.

Koncept pružnej potenciálnej energie, ktorý bol uvedený vedľa jarnej konštanty skôr v článku, je veľmi užitočný, ak sa chcete naučiť počítaťkpomocou ďalších údajov. Rovnica pre elastickú potenciálnu energiu súvisí s posunom,Xa jarná konštanta,k, na elastický potenciálPE​_el, a má rovnakú základnú formu ako rovnica pre kinetickú energiu:

Ako forma energie sú jednotkami elastickej potenciálnej energie jouly (J).

Elastická potenciálna energia sa rovná vykonanej práci (ignorujú sa straty tepla alebo iné plytvanie) a vy môžete ľahko to vypočítajte na základe vzdialenosti, ktorú pružina pretiahla, ak poznáte pružinovú konštantu pre jar. Podobne môžete túto rovnicu usporiadať a nájsť tak jarnú konštantu, ak poznáte vykonanú prácu (odŽ​ = ​PE​_el) pri rozťahovaní pružiny a o koľko sa pružina predĺžila.

Existujú dva jednoduché prístupy, ktoré môžete použiť na výpočet pružinovej konštanty pomocou Hookeovho zákona spolu s niektorými údajmi o sile obnovovacej (alebo použitej) sily a posunutie pružiny z jej rovnovážnej polohy alebo použitie rovnice elastickej potenciálnej energie popri obrázkoch pre prácu vykonanú pri roztiahnutí pružiny a posunutí pružiny jar.

Použitie Hookeovho zákona je najjednoduchší prístup k nájdeniu hodnoty pružinovej konštanty a môžete dokonca získajte údaje sami pomocou jednoduchého nastavenia, pri ktorom zavesíte známu hmotu (so silou jej hmotnosti danáF​ = ​mg) z pružiny a zaznamenajte predĺženie pružiny. Ignorovanie znamienka mínus v Hookeovom zákone (pretože pri výpočte hodnoty pružinovej konštanty nezáleží na smere) a vydelenie posunom,X, dáva:

Použitie vzorca pružnej potenciálnej energie je podobne jednoduchý proces, ktorý sa však nehodí na jednoduchý experiment. Ak však poznáte elastickú potenciálnu energiu a posun, môžete ju vypočítať pomocou:

V každom prípade skončíte s hodnotou s jednotkami N / m.

Pružina, ku ktorej sa pridalo 6 N závažie, sa tiahne o 30 cm vzhľadom na svoju rovnovážnu polohu. Aká je jarná konštantakna jar?

Riešenie tohto problému je ľahké za predpokladu, že si myslíte, že ste dostali informácie, ktoré ste dostali, a pred výpočtom prevediete posun na metre. Hmotnosť 6 N je číslo v newtonoch, takže okamžite by ste mali vedieť, že ide o silu, a vzdialenosť, ktorú pružina tiahne od svojej rovnovážnej polohy, je posunutie,X. Otázka vám to teda hovoríF= 6 N aX= 0,3 m, to znamená, že pružinovú konštantu môžete vypočítať takto:

Pre ďalší príklad si predstavte, že viete, že 50 J elastickej potenciálnej energie sa drží v pružine, ktorá bola stlačená 0,5 m od svojej rovnovážnej polohy. Aká je v tomto prípade jarná konštanta? Prístup opäť spočíva v identifikácii informácií, ktoré máte, a vložení hodnôt do rovnice. Tu to vidítePE​_el = 50 J aX= 0,5 m. Znovu usporiadaná rovnica elastickej potenciálnej energie dáva:

Automobil s hmotnosťou 1 800 kg má závesný systém, ktorý nemôže prekročiť 0,1 m kompresie. Akú pružnú konštantu musí mať pruženie?

Tento problém sa môže javiť odlišne od predchádzajúcich príkladov, ale nakoniec proces výpočtu pružinovej konštanty,k, je úplne rovnaký. Jediným ďalším krokom je prevedenie hmotnosti automobilu do aváha(t. j. sila pôsobiaca gravitáciou na hmotu) na každé koleso. Viete, že sila spôsobená hmotnosťou vozidla je daná symbolomF​ = ​mg, kdeg= 9,81 m / s², gravitačné zrýchlenie na Zemi, takže Hookeov zákon môžete upraviť nasledovne:

Iba jedna štvrtina z celkovej hmotnosti automobilu však spočíva na ľubovoľnom kolese, takže hmotnosť na pružinu je 1 800 kg / 4 = 450 kg.

Teraz stačí zadať známe hodnoty a vyriešiť potrebné sily požadovaných pružín. Berte na vedomie, že maximálna kompresia 0,1 m je hodnota preXbudete musieť použiť:

To by sa dalo tiež vyjadriť ako 44,145 kN / m, kde kN znamená „kilonewton“ alebo „tisíce newtonov“.

Je potrebné znova zdôrazniť, že sa Hookov zákon netýkakaždýsituácii a aby ste ju efektívne využili, musíte si pamätať obmedzenia zákona. Jarná konštanta,k, je gradient priamkyporciagrafu zFvs.X; inými slovami sila pôsobiaca vs. posunutie z rovnovážnej polohy.

Po „limite proporcionality“ pre predmetný materiál však už vzťah nie je priamy a Hookeov zákon prestáva platiť. Podobne, keď materiál dosiahne „elastickú hranicu“, nebude reagovať ako pružina a bude sa natrvalo deformovať.

Nakoniec Hookeov zákon predpokladá „ideálnu jar“. Súčasťou tejto definície je, že odozva pružiny je lineárna, ale predpokladá sa tiež, že je bezhmotná a bez trenia.

Tieto posledné dve obmedzenia sú úplne nereálne, ale pomáhajú vám vyhnúť sa komplikáciám vyplývajúcim z gravitačnej sily pôsobiacej na samotnú pružinu a straty energie trením. To znamená, že Hookeho zákon bude vždy skôr približný ako presný - a to aj v medziach proporcionality - ale odchýlky zvyčajne nespôsobujú problém, pokiaľ nepotrebujete veľmi presné odpovede.