Väčšina ľudí vie o úspore energie. V skratke sa hovorí, že energia sa šetrí; nie je vytvorený a nie je zničený a jednoducho sa mení z jednej formy do druhej.
Ak teda držíte loptu úplne nehybne, dva metre nad zemou a potom ju pustíte, odkiaľ pochádza energia, ktorú získa? Ako môže niečo úplne ešte získať toľko kinetickej energie predtým, ako dopadne na zem?
Odpoveďou je, že nehybná lopta má formu nazvanej akumulovanej energiegravitačná potenciálna energia, alebo skrátene GPE. Toto je jedna z najdôležitejších foriem akumulovanej energie, s ktorou sa stredoškolák stretne vo fyzike.
GPE je forma mechanickej energie spôsobenej výškou objektu nad povrchom Zeme (alebo akýmkoľvek iným zdrojom gravitačného poľa). Akýkoľvek objekt, ktorý sa nenachádza v bode s najnižšou energiou v takomto systéme, má určitú gravitačnú potenciálnu energiu, a ak uvoľnená (t. j. nechá sa voľne spadnúť), bude sa zrýchľovať smerom k stredu gravitačného poľa, kým niečo nebude zastaví to.
Aj keď proces hľadania gravitačnej potenciálnej energie objektu je dosť priamo matematicky je tento koncept mimoriadne užitočný, pokiaľ ide o výpočet iné množstvá. Napríklad učenie sa o koncepte GPE skutočne uľahčuje výpočet kinetickej energie a konečnej rýchlosti padajúceho objektu.
Definícia gravitačnej potenciálnej energie
GPE závisí od dvoch kľúčových faktorov: polohy objektu vo vzťahu k gravitačnému poľu a hmotnosti objektu. Ťažisko tela tvoriace gravitačné pole (na Zemi stred planéty) je bod s najnižšou energiou v poli (aj keď v praxi skutočné telo zastaví padanie pred týmto bodom, ako to robí zemský povrch) a čím ďalej od tohto bodu je objekt, tým viac akumulovanej energie má vďaka svojej pozíciu. Množstvo akumulovanej energie sa tiež zvyšuje, ak je objekt hmotnejší.
Môžete pochopiť základnú definíciu gravitačnej potenciálnej energie, ak uvažujete o knihe položenej na poličke. Kniha má potenciál spadnúť na podlahu kvôli svojej vyvýšenej polohe vzhľadom k zemi, ktorá však začína von na podlahu nemôže spadnúť, pretože je už na povrchu: Kniha v poličke má GPE, ale tá na zemi nie.
Intuícia vám tiež povie, že kniha, ktorá je dvakrát taká silná, spôsobí pri dopade na zem dvakrát väčší úder; je to preto, lebo hmotnosť objektu je priamo úmerná množstvu gravitačnej potenciálnej energie, ktorú objekt má.
GPE vzorec
Vzorec pre gravitačnú potenciálnu energiu (GPE) je skutočne jednoduchý a týka sa hmotnostim, gravitačné zrýchlenie na Zemig) a výška nad povrchom Zemehna uloženú energiu v dôsledku gravitácie:
GPE = mgh
Ako je to vo fyzike bežné, existuje veľa potenciálnych rôznych symbolov gravitačnej potenciálnej energie vrátaneUg, PEgrav a ďalšie. GPE je miera energie, takže výsledkom tohto výpočtu bude hodnota v jouloch (J).
Zrýchlenie spôsobené gravitáciou Zeme má (zhruba) konštantnú hodnotu kdekoľvek na povrchu a smeruje priamo do stredu hmotnosti planéty: g = 9,81 m / s2. Vzhľadom na túto konštantnú hodnotu potrebujete na výpočet GPE jediné, čo je hmotnosť objektu a výška objektu nad povrchom.
Príklady výpočtu GPE
Čo teda robiť, ak potrebujete vypočítať, koľko gravitačnej potenciálnej energie má objekt? V podstate môžete jednoducho definovať výšku objektu na základe jednoduchého referenčného bodu (zem zvyčajne funguje dobre) a vynásobiť ju jeho hmotnosťouma pozemská gravitačná konštantagnájsť GPE.
Napríklad si predstavte 10-kilogramovú hmotu zavesenú vo výške 5 metrov nad zemou kladkovým systémom. Koľko gravitačnej potenciálnej energie má?
Použitie rovnice a dosadenie známych hodnôt dáva:
\ begin {aligned} GPE & = mgh \\ & = 10 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 5 \; \ text {m} \\ & = 490,5 \; \ text {J} \ end {zarovnaný}
Ak ste však pri čítaní tohto článku uvažovali o tomto koncepte, možno by ste zvážili zaujímavú otázku: Ak gravitačný potenciál energia objektu na Zemi je skutočne nulová, iba ak je v strede hmoty (t. j. vo vnútri zemského jadra), prečo ju vypočítate, akoby povrch Zem jeh = 0?
Pravdou je, že výber „nulového“ bodu pre výšku je ľubovoľný a zvyčajne sa to robí kvôli zjednodušeniu daného problému. Kedykoľvek vypočítate GPE, skutočne sa viac zaujímate o gravitačnú potenciálnu energiuzmenyskôr než akýkoľvek druh absolútnej miery akumulovanej energie.
V podstate nezáleží na tom, či sa rozhodnete zavolať stolovú doskuh= 0 skôr ako povrch Zeme, pretože ste vždyvlastnehovorí o zmenách potenciálnej energie v súvislosti so zmenami výšky.
Zvážte teda to, že niekto zdvihne 1,5-kilogramovú učebnicu fyziky z povrchu stola a zdvihne ju 50 cm (t.j. 0,5 m) nad povrch. Aká je zmena gravitačnej potenciálnej energie (označená ∆GPE) pre knihu, keď je zrušená?
Trik, samozrejme, spočíva v nazývaní tabuľky referenčným bodom s výškouh= 0 alebo ekvivalentne, aby sa zvážila zmena výšky (∆h) z počiatočnej polohy. V obidvoch prípadoch získate:
\ begin {aligned} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 1,5 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 0,5 \; \ text {m} \\ & = 7,36 \; \ text {J} \ end {zarovnaný}
Uvedenie „G“ do GPE
Presná hodnota pre gravitačné zrýchleniegv rovnici GPE má veľký vplyv na gravitačnú potenciálnu energiu objektu vzneseného v určitej vzdialenosti nad zdrojom gravitačného poľa. Napríklad na povrchu Marsu hodnotagje asi trikrát menšia ako na povrchu Zeme, takže ak rovnaký objekt zdvihnete rovnako vzdialenosť od povrchu Marsu by mala asi trikrát menej akumulovanej energie, ako by mala ďalej Zem.
Podobne, aj keď môžete priblížiť hodnotugako 9,81 m / s2 cez zemský povrch na úrovni mora, je to vlastne menšie, ak sa vzdialite od povrchu v značnej vzdialenosti. Napríklad, ak ste boli na hore Mt. Everest, ktorý sa dvíha 8 848 m (8 848 km) nad povrchom Zeme a je tak ďaleko od stredu hmotnosti planéty, by znížil hodnotugmierne, takže by ste malig= 9,79 m / s2 na vrchole.
Ak by ste úspešne vystúpili na horu a zdvihli 2-kilogramovú hmotu 2 m od vrcholu hory do vzduchu, aká by bola zmena v GPE?
Rovnako ako výpočet GPE na inej planéte s inou hodnotoug, jednoducho zadáte hodnotu pregktorá vyhovuje situácii a prechádza rovnakým procesom, ako je uvedené vyššie:
\ begin {aligned} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \; \ text {kg} × 9,79 \; \ text {m / s} ^ 2 × 2 \; \ text {m} \\ & = 39,16 \; \ text {J} \ end {zarovnaný}
Na úrovni mora na Zemi, sg= 9,81 m / s2, zdvihnutie rovnakej hmotnosti by zmenilo GPE tým, že:
\ begin {aligned} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 2 \; \ text {m} \\ & = 39,24 \; \ text {J} \ end {zarovnaný}
To nie je obrovský rozdiel, ale jasne to ukazuje, že nadmorská výška ovplyvňuje zmenu GPE, keď vykonávate rovnaký zdvíhací pohyb. A na povrchu Marsu, kdeg= 3,75 m / s2 bolo by:
\ begin {aligned} ∆GPE & = mg∆h \\ & = 2 \; \ text {kg} × 3,75 \; \ text {m / s} ^ 2 × 2 \; \ text {m} \\ & = 15 \; \ text {J} \ end {zarovnaný}
Ako vidíte, hodnotagje veľmi dôležité pre dosiahnutý výsledok. Vykonaním rovnakého zdvíhacieho pohybu v hlbokom vesmíre, ďaleko od akéhokoľvek vplyvu gravitačnej sily, by v podstate nedošlo k nijakej zmene gravitačnej potenciálnej energie.
Nájdenie kinetickej energie pomocou GPE
Úsporu energie možno na zjednodušenie použiť popri koncepcii GPEveľavýpočty z fyziky. Stručne povedané, pod vplyvom „konzervatívnej“ sily sa zachová celková energia (vrátane kinetickej energie, gravitačnej potenciálnej energie a všetkých ostatných foriem energie).
Konzervatívna sila je sila, pri ktorej množstvo práce vynaloženej proti sile na presun objektu medzi dvoma bodmi nezávisí od zvolenej dráhy. Gravitácia je teda konzervatívna, pretože zdvíha objekt z referenčného bodu do výškyhmení gravitačnú potenciálnu energiu omgh, ale nie je rozdiel, či ho presuniete po ceste v tvare písmena S alebo po priamke - vždy sa zmení iba omgh.
Teraz si predstavte situáciu, že zhodíte guľku 500 g (0,5 kg) z výšky 15 metrov. Koľko kinetickej energie bude mať lopta v okamihu, keď sa dotkne zeme, ignorujúc vplyv odporu vzduchu a za predpokladu, že sa počas jeho pádu neotáča?
Kľúčom k tomuto problému je skutočnosť, že sa zachováva celková energia, takže všetka kinetická energia pochádza z GPE, a teda kinetická energiaEk pri svojej maximálnej hodnote sa musí rovnať GPE pri maximálnej hodnote, aleboGPE = Ek. Problém teda môžete ľahko vyriešiť:
\ begin {aligned} E_k & = GPE \\ & = mgh \\ & = 0,5 \; \ text {kg} × 9,81 \; \ text {m / s} ^ 2 × 15 \; \ text {m} \\ & = 73,58 \; \ text {J} \ end {zarovnaný}
Hľadanie konečnej rýchlosti pomocou GPE a úspora energie
Úspora energie zjednodušuje mnoho ďalších výpočtov, ktoré zahŕňajú aj gravitačnú potenciálnu energiu. Zamyslite sa nad loptou z predchádzajúceho príkladu: teraz, keď poznáte celkovú kinetickú energiu na základe jej gravitácie potenciálna energia v najvyššom bode, aká je konečná rýchlosť lopty v okamihu pred dopadom na Zem povrch? Toto môžete vyriešiť na základe štandardnej rovnice pre kinetickú energiu:
E_k = \ frac {1} {2} mv ^ 2
S hodnotouEk známe, môžete znova usporiadať rovnicu a vyriešiť rýchlosťv:
\ begin {aligned} v & = \ sqrt {\ frac {2E_k} {m}} \\ & = \ sqrt {\ frac {2 × 73,575 \; \ text {J}} {0,5 \; \ text {kg}} } \\ & = 17,16 \; \ text {m / s} \ end {zarovnané}
Môžete však použiť úsporu energie na odvodenie rovnice, ktorá platíakýkoľvekpadajúci predmet, tak, že si najskôr všimneme, že v situáciách ako je táto, -∆GPE = ∆Ek, a tak:
mgh = \ frac {1} {2} mv ^ 2
Ruší samz oboch strán a nové usporiadanie poskytuje:
gh = \ frac {1} {2} v ^ 2 \\ \ text {Preto} \; v = \ sqrt {2gh}
Táto rovnica ukazuje, že bez ohľadu na odpor vzduchu nemá hmotnosť vplyv na konečnú rýchlosťv, takže ak spadnete akékoľvek dva objekty z rovnakej výšky, dopadnú na zem v presne rovnakom čase a spadnú rovnakou rýchlosťou. Môžete tiež skontrolovať výsledok získaný pomocou jednoduchšej dvojkrokovej metódy a ukázať, že táto nová rovnica skutočne prináša rovnaký výsledok so správnymi jednotkami.
Odvodzovanie mimozemských hodnôtgPomocou GPE
Napokon predchádzajúca rovnica tiež poskytuje spôsob výpočtugna iných planétach. Predstavte si, že ste zhodili 0,5 kg loptičku z 10 m nad povrchom Marsu a zaznamenali konečnú rýchlosť (tesne predtým, ako dopadla na povrch) 8,66 m / s. Aká je hodnotagna Marse?
Počnúc skoršou fázou zmeny usporiadania:
gh = \ frac {1} {2} v ^ 2
Chápeš to:
\ begin {zarovnané} g & = \ frac {v ^ 2} {2h} \\ & = \ frac {(8,66 \; \ text {m / s}) ^ 2} {2 × 10 \; \ text {m }} \\ & = 3,75 \; \ text {m / s} ^ 2 \ end {zarovnané}
Úspora energie v kombinácii s rovnicami gravitačnej potenciálnej energie a kinetickej energie existujeveľaa keď si zvyknete využívať vzťahy, budete schopný ľahko vyriešiť obrovskú škálu problémov klasickej fyziky.