Avektorje veličina, ktorá má s ňou spojenú veľkosť aj smer. Toto je iné ako askalárnymnožstvo, ktoré zodpovedá iba veľkosti. Rýchlosť je príkladom vektorovej veličiny. Má to veľkosť (to, ako rýchlo niečo ide), aj smer (smer, ktorým to ide).
Vektory sú často nakreslené ako šípky. Dĺžka šípky zodpovedá veľkosti vektora a bod šípky označuje smer.
Existujú dva spôsoby práce s sčítaním a odčítaním vektorov. Prvý je graficky manipuláciou so šípkovými diagramami samotných vektorov. Druhá je matematická, ktorá poskytuje presné výsledky.
Sčítanie a odčítanie grafických vektorov v jednej dimenzii
Pri pridávaní dvoch vektorov umiestnite chvost druhého vektora na vrchol prvého vektora pri zachovaní orientácie vektora. Thevýsledný vektorje vektor, ktorý začína na chvoste prvého vektora a smeruje rovnou čiarou k špičke druhého vektora.
Zvážte napríklad pridanie vektorovAaBktoré smerujú rovnakým smerom pozdĺž čiary. Umiestnime ich „tip po chvost“ a výsledný vektor,C., ukazuje rovnakým smerom a má dĺžku, ktorá je súčtom dĺžokAaB.
Odčítanie vektorov v jednej dimenzii je v podstate rovnaké ako pridanie, ibaže druhý vektor „preklopíte“. Vyplýva to priamo zo skutočnosti, že odčítanie je rovnaké ako pripočítanie záporného čísla.
Sčítanie a odčítanie matematických vektorov v jednej dimenzii
Pri práci v jednej dimenzii môže byť smer vektora označený znamienkom. Zvolíme jeden smer, ktorý bude pozitívnym smerom (zvyčajne sa ako pozitívny vyberie „hore“ alebo „vpravo“) a ľubovoľný vektor smerujúci týmto smerom priradíme ako kladnú veličinu. Akýkoľvek vektor smerujúci do záporného smeru je záporná veličina. Pri sčítaní alebo odčítaní vektorov sčítajte alebo odčítajte ich veličiny s pripojenými príslušnými znakmi.
Predpokladajme v predchádzajúcej časti vektorAmal veľkosť 3 a vektorBmal magnitúdu 5. Potom výsledný vektorC = A + B =8, vektor veľkosti 8 smerujúci v pozitívnom smere a výsledný vektorD = A - B =-2, vektor veľkosti 2 smerujúci v negatívnom smere. Toto je v súlade s grafickými výsledkami z minulosti.
Tip: Dávajte pozor, aby ste pridali iba vektory rovnakého typu: rýchlosť + rýchlosť, sila + sila atď. Rovnako ako všetky matematiky vo fyzike, aj tu sa musia jednotky zhodovať!
Sčítanie a odčítanie grafického vektora v dvoch dimenziách
Ak prvý vektor a druhý vektor nie sú pozdĺž rovnakej čiary v karteziánskom priestore, môžete ich pridať alebo odčítať pomocou tej istej metódy „tip to tail“. Ak chcete pridať dva vektory, jednoducho si predstavte, že druhý zdvihnete a jeho chvost položíte na koniec prvého, pričom zachováte jeho orientáciu, ako je to znázornené. Výsledným vektorom je šípka začínajúca na konci prvého vektora a končiaca na konci druhého vektora:
Rovnako ako v jednej dimenzii, odpočítanie jedného vektora od druhého je ekvivalentné k preklopeniu a pridaniu. Graficky to vyzerá takto:
•••Dana Chen | Vedenie
Poznámka: Sčítanie vektorov sa niekedy zobrazuje graficky tak, že sa spoja chvosty dvoch sčítacích vektorov a vytvorí sa rovnobežník. Výsledný vektor je potom uhlopriečka tohto rovnobežníka.
Sčítanie a odčítanie matematických vektorov v dvoch dimenziách
Ak chcete matematicky sčítať a odčítať vektory v dvoch dimenziách, postupujte takto:
Rozložte každý vektor naX-komponent, niekedy nazývaný aj horizontálny komponent, a ar-komponent, niekedy nazývaný vertikálna zložka, využívajúci trigonometriu. (Upozorňujeme, že komponenty môžu byť buď záporné, alebo kladné, v závislosti od toho, akým smerom smeruje vektor.)
Pridajte znakX-komponenty oboch vektorov dohromady a potom pridaťr-komponenty oboch vektorov spolu. Tento výsledok vám poskytneXarzložky výsledného vektora.
Veľkosť výsledného vektora sa dá zistiť pomocou Pytagorovej vety.
Smer výsledného vektora možno zistiť pomocou trigonometrie pomocou funkcie inverznej tangenty. Tento smer je zvyčajne daný ako uhol vzhľadom na pozitívumX- os.
Trigonometria v sčítaní vektorov
Pripomeňme si vzťahy medzi stranami a uhlami pravouhlého trojuholníka z trigonometrie.
\ sin (\ theta) = \ frac {b} {c} \\\ text {} \\ \ cos (\ theta) = \ frac {a} {c} \\\ text {} \\ \ tan (\ theta) = \ frac {b} {a}
Pytagorova veta:
c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2
Pohyb projektilu poskytuje klasické príklady toho, ako by sme mohli tieto vzťahy použiť na rozklad vektora aj na určenie konečnej veľkosti a smeru vektora.
Zvážte, že dvaja ľudia hrajú na úlovok. Predpokladajme, že vám bolo povedané, že lopta je vrhaná z výšky 1,3 m rýchlosťou 16 m / s pod uhlom 50 stupňov k vodorovnej rovine. Ak chcete začať analyzovať tento problém, budete musieť tento vektor počiatočnej rýchlosti rozložiť naXarkomponenty, ako je to znázornené:
v_ {xi} = v_i \ cos (\ theta) = 16 \ times \ cos (50) = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 16 \ times \ sin (50) = 12,3 \ text {m / s}
Ak lapač minie loptu a ona dopadne na zem, s akou konečnou rýchlosťou udrie?
Pomocou kinematických rovníc môžeme určiť, že konečné zložky rýchlosti lopty sú:
v_ {xf} = 10,3 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = - 13,3 \ text {m / s}
Pytagorova veta nám umožňuje nájsť veľkosť:
v_ {f} = \ sqrt {(10,3) ^ 2 + (-13,3) ^ 2} = 16,8 \ text {m / s}
A trigonometria nám umožňuje určiť uhol:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Veľký (\ frac {-13,3} {10,3} \ Veľký) = - 52,2 \ stupeň
Príklad sčítania a odčítania vektorov
Zvážte auto za zákrutou. Predpokladajmevipretože auto je vX-smer s rýchlosťou 10 m / s avfje v 45-stupňovom uhle s kladomX-osa s veľkosťou 10 m / s. Ak k tejto zmene pohybu dôjde za 3 sekundy, aká je veľkosť a smer akcelerácie automobilu pri jeho otáčaní?
Pripomeňme si to zrýchlenieaje vektorová veličina definovaná ako:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Kdevfavisú konečné a počiatočné rýchlosti (a teda sú aj vektorovými veličinami).
Aby bolo možné vypočítať vektorový rozdielvf - vi,najskôr musíme rozložiť vektory počiatočnej a konečnej rýchlosti:
v_ {xi} = 10 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = 0 \ text {m / s} \\ v_ {xf} = 10 \ cos (45) = 7,07 \ text {m / s} \\ v_ {yf} = 10 \ sin (45) = 7,07 \ text {m / s}
Potom odpočítame konečnúXarkomponenty z pôvodnéhoXarkomponenty na získanie komponentovvf - vi:
Potom odčítameXarkomponenty:
(v_f-v_i) _x = v_ {xf} -v_ {xi} = 7,07-10 = -2,93 \ text {m / s} \\ (v_f-v_i) _y = v_ {yf} -v_ {yi} = 7,07 -0 = 7,07 \ text {m / s}
Potom rozdeľte každý podľa času a získajte komponenty vektora zrýchlenia:
a_x = \ frac {-2,93} {3} = - 0,977 \ text {m / s} ^ 2 \\\ text {} \\ a_y = \ frac {7,07} {3} = 2,36 \ text {m / s} ^ 2
Použite Pytagorovu vetu na vyhľadanie veľkosti vektora zrýchlenia:
a = \ sqrt {(- 0,977) ^ 2 + (2,36) ^ 2} = 2,55 \ text {m / s} ^ 2
Nakoniec použite trigonometriu na nájdenie smeru vektora zrýchlenia:
\ theta = \ tan ^ {- 1} \ Veľký (\ frac {2.36} {- 0,977} \ Veľký) = 113 \ stupeň