Maxwell-Boltzmann Distribúcia: Funkcia, odvodenie a príklady

Opis toho, čo sa deje s veľmi malými časticami, je vo fyzike výzvou. Nielenže je ťažké s nimi pracovať, ale vo väčšine každodenných aplikácií nemáte na starosti jedinú časticu, ale nespočetné množstvo z nich navzájom interaguje.

V tuhej látke sa častice nepohybujú okolo seba, ale naopak, sú dosť na svojom mieste. Pevné látky sa môžu pri teplotných výkyvoch rozpínať a sťahovať a v určitých situáciách niekedy dokonca prechádzajú zaujímavými zmenami kryštalických štruktúr.

V tekutinách sa častice môžu voľne pohybovať okolo seba. Vedci však nemajú tendenciu študovať tekutiny tým, že sa snažia sledovať, čo jednotlivé molekuly robia. Namiesto toho sa zameriavajú na väčšie vlastnosti celku, ako je viskozita, hustota a tlak.

Rovnako ako v prípade kvapalín, aj tu sa častice v plyne môžu voľne pohybovať okolo seba. V skutočnosti môžu plyny podliehať dramatickým zmenám v objeme v dôsledku rozdielov v teplote a tlaku.

Opäť nemá zmysel študovať plyn sledovaním toho, čo robí každá jednotlivá molekula plynu, a to ani pri tepelnej rovnováhe. To by nebolo možné, zvlášť keď si uvedomíte, že aj v priestore prázdneho pohára na pitie je okolo 10

Najjednoduchšie je analyzovať plyn, ktorý je ideálny. Je to ideálne, pretože umožňuje určité zjednodušenia, vďaka ktorým je fyzika oveľa ľahšie pochopiteľná. Mnoho plynov pri štandardných teplotách a tlakoch funguje približne ako ideálne plyny, takže je ich štúdium tiež užitočné.

V ideálnom plyne sa predpokladá, že samotné molekuly plynu sa zrazia v dokonale elastických zrážkach, takže sa nemusíte obávať zmeny formy energiou v dôsledku takýchto zrážok. Tiež sa predpokladá, že molekuly sú od seba veľmi vzdialené, čo v podstate znamená nemusíte sa báť, že by medzi sebou bojovali o vesmír a mohli by ste s nimi zaobchádzať ako s pointou častice. Ideálne plyny tiež nie sú príliš horúce a ani príliš studené, takže sa nemusíte obávať účinkov, ako je ionizácia alebo kvantové efekty.

Odtiaľto sa s plynnými časticami dá zaobchádzať ako s malými bodovými časticami odrážajúcimi sa okolo v ich nádobe. Ale aj pri tomto zjednodušení stále nie je možné pochopiť plyny sledovaním toho, čo jednotlivé častice robia. Vedcom však umožňuje vyvinúť matematické modely, ktoré popisujú vzťahy medzi makroskopickými veličinami.

Zákon ideálneho plynu súvisí s tlakom, objemom a teplotou ideálneho plynu. TlakPplynu je sila na jednotku plochy, ktorou pôsobí na steny nádoby, v ktorej je. Jednotkou tlaku SI je pascal (Pa), kde 1Pa = 1N / m². HlasitosťV.plynu je množstvo priestoru, ktoré zaberá v jednotkách SI m³. A teplotaTplynu je miera priemernej kinetickej energie na molekulu, meraná v jednotkách SI Kelvina.

Rovnica popisujúca zákon ideálneho plynu môže byť napísaná nasledovne:

KdeNje počet molekúl alebo počet častíc a Boltzmannova konštantak​ = 1.38064852×10^-23 kgm²/ s²K.

Ekvivalentná formulácia tohto zákona je:

Kdenje počet mólov a univerzálna plynová konštantaR= 8,3 145 J / molK.

Tieto dva výrazy sú rovnocenné. Ktorý z nich sa rozhodnete použiť, jednoducho závisí od toho, či meriate počet molekúl v moloch alebo v počte molekúl.

• 1 mol = 6,022 × 10²³ molekúl, čo je Avogadrovo číslo.

Keď sa plyn priblíži k ideálu, môžete urobiť ďalšie zjednodušenie. To znamená, že namiesto zváženia presnej fyziky každej molekuly - čo by bolo nemožné kvôli ich samotnému počtu - sa s nimi zaobchádza ako s náhodnými pohybmi. Z tohto dôvodu je možné pomocou štatistík pochopiť, o čo ide.

V 19. storočí vyvinuli fyzici James Clerk Maxwell a Ludwig Boltzmann kinetickú teóriu plynov na základe opísaných zjednodušení.

Klasicky môže mať každá molekula v plyne kinetickú energiu, ktorá sa jej pripisuje vo forme:

Nie každá molekula v plyne má však rovnakú kinetickú energiu, pretože sa neustále zrazia. Presné rozdelenie kinetických energií molekúl je dané Maxwell-Boltzmannovým rozdelením.

Maxwell-Boltzmannova štatistika popisuje distribúciu molekúl ideálneho plynu v rôznych energetických stavoch. Funkcia, ktorá popisuje túto distribúciu, je nasledovná:

KdeAje normalizačná konštanta,Eje energia,kje Boltzmannova konštanta aTje teplota.

Ďalšie predpoklady urobené na získanie tejto funkcie sú, že kvôli ich povahe bodovej častice nie je nijaké obmedzenie, koľko častíc môže obsadiť daný stav. Distribúcia častíc medzi energetickými stavmi tiež nevyhnutne vyžaduje najpravdepodobnejšiu distribúciu (s väčšie množstvo častíc, zvyšuje sa pravdepodobnosť, že plyn nebude blízko tejto distribúcii malý). A nakoniec, všetky energetické stavy sú rovnako pravdepodobné.

Tieto štatistiky fungujú, pretože je veľmi nepravdepodobné, že by ktorákoľvek z týchto častíc mohla skončiť s energiou výrazne nad priemerom. Keby sa to stalo, zostalo by to oveľa menej spôsobov, ako sa dá distribuovať zvyšok celkovej energie. Znižuje sa to na hru s číslami - pretože existuje oveľa viac energetických stavov, ktoré nemajú častice vysoko nad priemerom, pravdepodobnosť, že bude systém v takomto stave, je mizivo malá.

Energie nižšie ako priemer sú však pravdepodobnejšie, opäť kvôli tomu, ako sa hrajú pravdepodobnosti. Pretože sa všetok pohyb považuje za náhodný a existuje väčšie množstvo spôsobov, ako môže častica skončiť v nízkoenergetickom stave, sú tieto stavy zvýhodnené.

Maxwell-Boltzmannova distribúcia je distribúcia rýchlostí častíc ideálneho plynu. Túto funkciu rozloženia rýchlosti je možné odvodiť zo štatistík Maxwell-Boltzmann a použiť ju na odvodenie vzťahov medzi tlakom, objemom a teplotou.

Rozdelenie rýchlostivje dané týmto vzorcom:

Kdemje hmotnosť molekuly.

Priradená distribučná krivka s funkciou rozdelenia rýchlosti nar-os a molekulová rýchlosť naX-osa, vyzerá zhruba ako asymetrická normálna krivka s dlhším chvostom vpravo. Má maximálnu hodnotu pri najpravdepodobnejšej rýchlostiv_pa priemerná rýchlosť daná:

Všimnite si tiež, ako má dlhý úzky chvost. Krivka sa pri rôznych teplotách mierne mení, pričom dlhý chvost sa pri vyšších teplotách stáva „tučnejším“.

Použite vzťah:

KdeE_intje vnútorná energia,KE​_​priem​ je priemerná kinetická energia na molekulu z Maxwellovho-Boltzmannovho rozdelenia. Spolu so zákonom o ideálnom plyne je možné získať vzťah medzi tlakom a objemom z hľadiska molekulárneho pohybu: