Rotačná kinematika: Čo to je a prečo je to dôležité (s rovnicami a príkladmi)

Kinematika je matematické odvetvie fyziky, ktoré pomocou rovníc opisuje pohyb objektov (konkrétne ich)trajektórie) bez odkazu na sily.

To znamená, že by ste mohli jednoducho pripojiť rôzne čísla k množine štyroch kinematických rovníc, aby ste našli nejaké neznáme tieto rovnice bez toho, aby ste potrebovali akékoľvek znalosti fyziky stojace za týmto pohybom, spoliehajúc sa iba na svoju algebru zručností.

Predstavte si „kinematiku“ ako kombináciu „kinetiky“ a „matematiky“ - inými slovami, matematiky pohybu.

Rotačná kinematika je presne táto, ale konkrétne sa zaoberá objektmi pohybujúcimi sa skôr po kruhových dráhach ako horizontálne alebo vertikálne. Rovnako ako objekty vo svete translačného pohybu, aj tieto rotujúce objekty je možné opísať z hľadiska ich posunu, rýchlosti a zrýchlenie v čase, aj keď sa niektoré z premenných nevyhnutne menia, aby sa prispôsobili základným rozdielom medzi lineárnym a uhlovým pohyb.

Je skutočne veľmi užitočné naučiť sa základy lineárneho a rotačného pohybu súčasne, alebo sa aspoň zoznámiť s príslušnými premennými a rovnicami. Toto vás nemá ohromiť, ale naopak má zdôrazniť paralely.

Samozrejme, je dôležité pamätať pri učení sa o týchto „druhoch“ pohybu vo vesmíre, že preklad a rotácia sa zďaleka navzájom nevylučujú. V skutočnosti väčšina pohybujúcich sa objektov v reálnom svete zobrazuje kombináciu oboch druhov pohybu, pričom jeden z nich často nie je na prvý pohľad viditeľný.

Pretože „rýchlosť“ zvyčajne znamená „lineárna rýchlosť“ a „zrýchlenie“ znamená „lineárne zrýchlenie“, pokiaľ nie je uvedené inak, je vhodné preskúmať niekoľko jednoduchých príkladov základného pohybu.

Lineárny pohyb znamená doslova pohyb obmedzený na jeden riadok, ktorému sa často priraďuje premenná „x“. Problémy s pohybom projektilu zahŕňajú x- aj y-dimenzie a gravitácia je jediná vonkajšia sila (všimnite si, že tieto problémy sú opísané ako vyskytujúce sa v trojrozmernom svete, napr. „Dělová guľa“). je prepustený... “).

Všimnite si tú hmotumnezadáva kinematické rovnice žiadneho druhu, pretože vplyv gravitácie na pohyb objektov je nezávisle od ich hmotnosti a veličiny ako hybnosť, zotrvačnosť a energia nie sú súčasťou žiadnych rovníc rovnice pohyb.

Pretože rotačný pohyb zahŕňa štúdium kruhových dráh (v nejednotných aj rovnomerných kruhoch) pohyb), namiesto použitia metrov na popísanie posunu objektu, použijete radiány alebo stupne namiesto toho.

Radián je na povrchu nepríjemná jednotka, prekladá sa do 57,3 stupňa. Jedna cesta okolo kruhu (360 stupňov) je ale definovaná ako 2π radiány. Z dôvodov, ktoré sa chystáte vidieť, sa to v niektorých prípadoch ukáže ako vhodné pri riešení problémov.

• Vzťahπ rad = 180 stupňovmožno použiť na ľahkú konverziu medzi oboma mernými jednotkami.

Môžu sa vyskytnúť problémy, ktoré zahŕňajú počet otáčok za jednotku času (ot./min alebo ot./min.). Pamätajte, že každá revolúcia má radiály 2π alebo 360 stupňov.

Translačné kinematické merania alebo jednotky majú všetky rotačné analógy. Napríklad namiesto lineárnej rýchlosti, ktorá popisuje napríklad to, ako ďaleko sa gulička v danom časovom intervale valí v jednej priamke,rotačnýalebouhlová rýchlosťpopisuje rýchlosť rotácie tejto gule (koľko sa otáča v radiánoch alebo stupňoch za sekundu).

Tu treba mať na pamäti hlavne to, že každá prekladová jednotka má rotačný analóg. Naučiť sa matematicky a koncepčne spájať tých „partnerských“ si vyžaduje trochu praxe, ale väčšinou ide o jednoduché nahradenie.

Lineárna rýchlosťvurčuje veľkosť a smer prekladu častice; uhlová rýchlosťω(grécke písmeno omega) predstavuje jeho singulárnu rýchlosť, ktorá udáva, ako rýchlo sa objekt otáča v radiánoch za sekundu. Podobne aj miera zmenyω, uhlové zrýchlenie, je danéα(alfa) v rad / s².

Hodnotyωaαsú rovnaké pre akýkoľvek bod na pevnom objekte, bez ohľadu na to, či sú namerané 0,1 m od osi otáčania alebo 1 000 metrov od seba, pretože iba taký rýchly je uholθzmeny, na ktorých záleží.

Vo väčšine situácií, kde sú rotačné veličiny viditeľné, sú však prítomné tangenciálne (a teda lineárne) rýchlosti a zrýchlenia. Tangenciálne veličiny sa vypočítajú vynásobením uhlových veličín číslomr, vzdialenosť od osi otáčania:v_t​ = ​ωraα​​_t​ = ​α​​r.​

Teraz, keď boli analógie merania medzi rotačným a lineárnym pohybom na štvorček preč zavedením nových uhlových výrazov, je možné ich použiť na prepísanie štyri klasické translačné kinematické rovnice z hľadiska rotačnej kinematiky, len s trochu inými premennými (písmená v rovniciach predstavujúce neznáme množstvá).

V kinematike sú v hre štyri základné rovnice a štyri základné premenné: poloha (X​, ​raleboθ), rýchlosť (valeboω), zrýchlenie (aaleboα) a čast. Ktorú rovnicu si vyberiete, závisí od toho, ktoré neznáme množstvá sa majú začať.

​- [vložte tabuľku lineárnych / translačných kinematických rovníc zarovnaných s ich rotačnými analógmi]​

Povedzme napríklad, že vám bolo povedané, že rameno stroja prehnalo uhlovým posunom 3π / 4 radiány s počiatočnou uhlovou rýchlosťouω₀0 rad / s a ​​konečná uhlová rýchlosťωπ rad / s. Ako dlho trval tento pohyb?

Aj keď má každá translačná rovnica rotačný analóg, reverz nie je celkom pravdivý kvôli dostredivému zrýchleniu, ktoré je dôsledkom tangenciálnej rýchlostiv_ta smeruje k osi otáčania. Aj keď nedôjde k zmene rýchlosti častice obiehajúcej okolo ťažiska, predstavuje to zrýchlenie, pretože smer vektora rýchlosti sa vždy mení.

1. Tenká tyč klasifikovaná ako tuhé telo s dĺžkou 3 m sa otáča okolo osi okolo jedného konca. Z pokoja sa akceleruje rovnomerne na 3π rad / s² po dobu 10 s.

a) Aká je priemerná uhlová rýchlosť a uhlové zrýchlenie počas tejto doby?

Rovnako ako pri lineárnej rýchlosti, stačí rozdeliť (ω₀+​ ​ω) o 2, aby ste získali priemernú uhlovú rýchlosť: (0 + 3π s.)^-1)/2 = ​1.5​​π​ ​s^-1​.

• Radiány sú bezrozmernou jednotkou, takže v kinematických rovniciach sa uhlová rýchlosť vyjadruje ako s^-1.

Priemerné zrýchlenie je danéω=ω₀+ αtaleboα= (3π s^-1/ 10 s) =0,3π s^-2​.

b) Koľko úplných otáčok udica urobí?

Pretože priemerná rýchlosť je 1,5π s^-1 a tyč sa točí 10 sekúnd, pohybuje sa celkovo cez 15π radiánov. Pretože jedna revolúcia je 2π radiány, znamená to (15π / 2π) = 7,5 otáčok (sedem úplných revolúcií) v tomto probléme.

c) Aká je tangenciálna rýchlosť konca tyče v čase t = 10 s?

Odkedyv_t​ = ​ωraωv čase t = 10 je 3π s^-1, ​v_t= (3π s^-1) (3 m) =9π m / s.​

​Jaje definovaný ako moment zotrvačnosti (tiež nazývanýdruhý okamih oblasti) v rotačnom pohybe a pre výpočty je analogický s hmotnosťou. Zdá sa teda, kde by sa hmota objavila vo svete lineárneho pohybu, čo je možno najdôležitejšie pri výpočte momentu hybnostiĽ. Toto je produkt produktuJaa​ω​,a je vektor s rovnakým smerom ako​ω​.​

​I = mr² pre bodovú časticu, ale inak to závisí od tvaru objektu, ktorý robí rotáciu, ako aj od osi rotácie. V zozname zdrojov nájdete praktický zoznam hodnôtJapre bežné tvary.

Hmotnosť je iná, pretože množstvo v rotačnej kinematike, ktorého sa týka, momentu zotrvačnosti, v skutočnosti samotnejobsahujehmota ako súčasť.