Kinematické rovnice popisujú pohyb objektu podstupujúcim konštantné zrýchlenie. Tieto rovnice sa týkajú premenných času, polohy, rýchlosti a zrýchlenia pohybujúceho sa objektu, čo umožňuje vyriešiť ktorúkoľvek z týchto premenných, ak sú známe ďalšie.
Nižšie je znázornený objekt, ktorý prechádza konštantným akceleračným pohybom v jednej dimenzii. Premenná t je na čas, pozícia je X, rýchlosť v a zrýchlenie a. Dolné indexy i a f znamená „počiatočný“ a „konečný“. Predpokladá sa, že t = 0 o Xi a vi.
(Vložte obrázok 1)
Zoznam kinematických rovníc
Ďalej sú uvedené tri primárne kinematické rovnice, ktoré sa uplatňujú pri práci v jednej dimenzii. Ide o tieto rovnice:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + v \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 v ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Poznámky o kinematických rovniciach
- Tieto rovnice pracujú iba s konštantným zrýchlením (ktoré môže byť v prípade konštantnej rýchlosti nulové).
- V závislosti od toho, aký zdroj čítate, nemusí mať konečné množstvo dolný index f, a / alebo môžu byť reprezentované v notácii funkcií ako x (t) - čítať "X ako funkcia času “alebo„X v čase t”- a v (t). Poznač si to x (t) neznamená X vynásobeny t!
-
Niekedy množstvo Xf - Xi je napísané
Δx, čo znamená „zmena v X, “Alebo dokonca jednoducho ako d, čo znamená posunutie. Všetky sú rovnocenné. Poloha, rýchlosť a zrýchlenie sú vektorové veličiny, čo znamená, že sú s nimi spojené. V jednej dimenzii je smer obvykle označený znamienkami - kladné veličiny sú v kladnom smere a záporné veličiny v negatívnom smere. Dolné indexy: Namiesto počiatočnej polohy možno použiť „0“ pre počiatočnú polohu a rýchlosť i. Táto „0“ znamená „na t = 0, “a X0 a v0 sa zvyčajne vyslovujú „x-nič“ a „v-nič“. * Iba jedna z rovníc nezahŕňa čas. Pri písaní daností a určovaní, akú rovnicu použiť, je to kľúčové!
Špeciálny prípad: Free Fall
Pohyb voľným pádom je pohyb objektu zrýchľujúci sa iba vďaka gravitácii pri absencii odporu vzduchu. Platia rovnaké kinematické rovnice; hodnota zrýchlenia blízko zemského povrchu je však známa. Veľkosť tohto zrýchlenia je často predstavovaná symbolom g, kde g = 9,8 m / s2. Smer tohto zrýchlenia je dole, smerom k povrchu Zeme. (Upozorňujeme, že niektoré zdroje môžu byť približné.) g ako 10 m / s2a iní môžu používať hodnotu presnú na viac ako dve desatinné miesta.)
Stratégia riešenia problémov v oblasti kinematiky v jednej dimenzii:
Nakreslite diagram situácie a vyberte vhodný súradnicový systém. (Pripomeňme si to X, v a a sú všetky vektorové veličiny, takže priradením jasného kladného smeru bude ľahšie sledovať znamenia.)
Napíšte zoznam známych množstiev. (Pozor, niekedy známe nie sú zrejmé.) Hľadajte frázy ako „začína od pokoja“, to znamená vi = 0, alebo „dopadne na zem“, čo znamená Xf = 0 atď.)
Určte, ktoré množstvo chcete nájsť. Čo je neznáma, ktorú budeš riešiť?
Vyberte príslušnú kinematickú rovnicu. Bude to rovnica, ktorá obsahuje vaše neznáme množstvo spolu so známymi množstvami.
Vyriešte rovnicu pre neznámu veličinu, potom pripojte známe hodnoty a vypočítajte konečnú odpoveď. (Buďte opatrní pri jednotkách! Pred výpočtom budete niekedy musieť previesť jednotky.)
Príklady jednorozmernej kinematiky
Príklad 1: Reklama tvrdí, že športové auto môže ísť z 0 na 60 km / h za 2,7 sekundy. Aké je zrýchlenie tohto automobilu v m / s2? Ako ďaleko prejde za týchto 2,7 sekundy?
Riešenie:
(Vložte obrázok 2)
Známe a neznáme množstvá:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2,7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Prvá časť otázky vyžaduje riešenie pre neznáme zrýchlenie. Tu môžeme použiť rovnicu # 1:
v_f = v_i + at \ implikuje a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Predtým, ako pripojíme čísla, musíme prekonvertovať 60 mph na m / s:
60 \ zrušiť {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0,477 \ text {m / s}} {\ zrušiť {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26,8 \ text {m / s}
Zrýchlenie teda je:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ podčiarknuté {\ bold {9,93} \ text {m / s} ^ 2}
Aby sme zistili, ako ďaleko to za ten čas pôjde, môžeme použiť rovnicu # 2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 at ^ 2 = \ frac 1 2 \ krát 9,93 \ krát 2,7 ^ 2 = \ podčiarknutie {\ bold {36.2} \ text {m}}
Príklad 2: Lopta sa vrhá rýchlosťou 15 m / s z výšky 1,5 m. Ako rýchlo to ide, keď dopadne na zem? Ako dlho trvá dopad na zem?
Riešenie:
(Vložte obrázok 3)
Známe a neznáme množstvá:
x_i = 1,5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9,8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Na vyriešenie prvej časti môžeme použiť rovnicu # 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ znamená v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Všetko je už v konzistentných jednotkách, takže môžeme pripojiť hodnoty:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9,8) (0-1,5)} = \ pm \ sqrt {254,4} \ približne \ pm16 \ text {m / s}
Existujú dve riešenia. Ktoré je správne? Z nášho diagramu vidíme, že konečná rýchlosť by mala byť záporná. Odpoveď teda znie:
v_f = \ podčiarknutie {\ bold {-16} \ text {m / s}}
Na riešenie času môžeme použiť buď rovnicu # 1, alebo rovnicu # 2. Pretože s rovnicou # 1 sa pracuje jednoduchšie, použijeme túto:
v_f = v_i + at \ implikuje t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9,8} \ približne \ podčiarknutie {\ bold {3.2} \ text {s }}
Upozorňujeme, že odpoveď na prvú časť tejto otázky nebola 0 m / s. Aj keď je pravda, že po dopade lopty bude mať 0 rýchlosť, táto otázka chce vedieť, ako rýchlo to ide v tej zlomku sekundy pred dopadom. Akonáhle sa lopta dotkne zeme, naše kinematické rovnice už neplatia, pretože zrýchlenie nebude konštantné.
Kinematické rovnice pre pohyb projektilov (dve dimenzie)
Projektil je objekt pohybujúci sa v dvoch rozmeroch pod vplyvom zemskej gravitácie. Jeho dráha je parabola, pretože jediné zrýchlenie je spôsobené gravitáciou. Kinematické rovnice pre pohyb strely majú mierne odlišnú formu od kinematických rovníc uvedených vyššie. Využívame skutočnosť, že komponenty pohybu, ktoré sú na seba kolmé - napríklad vodorovná X smeru a zvislosti r smer - sú nezávislé.
Stratégia riešenia problémov s problémami kinematiky pohybov projektilov:
Načrtnite schému situácie. Rovnako ako pri jednorozmernom pohybe je užitočné načrtnúť scenár a naznačiť súradnicový systém. Namiesto použitia štítkov X, v a a pre polohu, rýchlosť a zrýchlenie potrebujeme spôsob označenia pohybu v každej dimenzii osobitne.
Pre horizontálny smer je najbežnejšie použitie X na pozíciu a vX pre zložku x rýchlosti (všimnite si, že zrýchlenie je v tomto smere 0, takže pre ňu nepotrebujeme premennú.) V r smer, je najbežnejšie používať r na pozíciu a vr pre y-zložku rýchlosti. Zrýchlenie môže byť buď označené ar alebo môžeme použiť skutočnosť, že vieme, že gravitačné zrýchlenie je g v negatívnom smere y a jednoducho to namiesto toho použite.
Napíšte zoznam známych a neznámych veličín rozdelením úlohy na dve časti: vertikálny a horizontálny pohyb. Pomocou trigonometrie nájdite zložky x a y akýchkoľvek vektorových veličín, ktoré neleží pozdĺž osi. Môže byť užitočné uviesť zoznam v dvoch stĺpcoch:
(vložte tabuľku 1)
Poznámka: Ak je rýchlosť uvedená ako veľkosť spolu s uhlom, Ѳ, nad horizontálou, potom použite vektorový rozklad, vX= vcos (Ѳ) a vr= vsin (Ѳ).
Môžeme vziať do úvahy naše tri kinematické rovnice z minulosti a prispôsobiť ich smerom x a y.
Smer X:
x_f = x_i + v_xt
Smer Y:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2 g (y_f - y_i)
Všimnite si, že zrýchlenie v r smer je -g, ak predpokladáme, že je pozitívny. Bežná mylná predstava je, že g = -9,8 m / s2, ale to je nesprávne; g sama o sebe je jednoducho veľkosť zrýchlenia: g = 9,8 m / s2, takže musíme špecifikovať, že zrýchlenie je záporné.
Vyriešte jednu neznámu v jednej z týchto dimenzií a potom zapojte to, čo je bežné v oboch smeroch. Zatiaľ čo pohyb v dvoch dimenziách je nezávislý, deje sa to na rovnakej časovej škále, takže časová premenná je v oboch dimenziách rovnaká. (Čas, ktorý loptičke trvá, kým podstúpi svoj vertikálny pohyb, je rovnaký ako čas, ktorý je potrebný na to, aby horizontálne prešiel.)
Príklady kinematiky pohybu projektilu
Príklad 1: Strela je vypustená vodorovne z útesu vysokého 20 m s počiatočnou rýchlosťou 50 m / s. Ako dlho trvá dopad na zem? Ako ďaleko od základne útesu pristáva?
(vložte obrázok 4)
Známe a neznáme množstvá:
(vložte tabuľku 2)
Čas potrebný na dopad na zem môžeme nájsť pomocou druhej rovnice vertikálneho pohybu:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ implikuje t = \ sqrt {\ frac {(2 \ krát 20)} g} = \ podčiarknutie {\ bold {2.02} \ text {s} }
Potom zistiť, kde to pristane, Xf, môžeme použiť rovnicu vodorovného pohybu:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ podčiarknutie {\ bold {101} \ text {s}}
Príklad 2: Lopta je spustená rýchlosťou 100 m / s od úrovne terénu v uhle 30 stupňov k horizontále. Kde to pristane? Kedy je jeho rýchlosť najmenšia? Aké je jeho umiestnenie v tejto chvíli?
(vložte obrázok 5)
Známe a neznáme množstvá:
Najprv musíme rozdeliť vektor rýchlosti na komponenty:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ približne 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ textová správa {m / s}
Naša tabuľka množstiev je potom:
(vložte tabuľku 3)
Najprv musíme zistiť čas, keď je lopta v lete. Môžeme to urobiť pomocou druhej vertikálnej rovnice_. Všimnite si, že na určenie toho, že konečná _y, používame symetriu paraboly rýchlosť je záporná hodnota počiatočnej hodnoty:
Potom určíme, ako ďaleko sa pohybuje v X smer v tejto dobe:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ krát 10,2 \ približne \ podčiarknutie {\ bold {883} \ text m}
Pomocou symetrie parabolickej dráhy môžeme určiť, že rýchlosť je najmenšia pri 5,1 s, keď je strela na vrchole svojho pohybu a vertikálna zložka rýchlosti je 0. Zložky x a y jej pohybu v tomto okamihu sú:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ krát 5,1 \ približne \ podčiarknutie {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ krát5,1- \ frac 1 2 9,8 \ krát 5,1 ^ 2 \ približne \ podčiarknuté {\ tučné {128} \ text {m}}
Odvodenie kinematických rovníc
Rovnica # 1: Ak je zrýchlenie konštantné, potom:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Pri riešení rýchlosti máme:
v_f = v_i + o
Rovnica # 2: Priemerná rýchlosť sa dá zapísať dvoma spôsobmi:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Ak nahradíme _vf _s výrazom z rovnice # 1 dostaneme:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + o) + v_i)} {2}
Riešenie pre Xf dáva:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 pri ^ 2
Rovnica # 3: Začnite riešením pre t v rovnici # 1
v_f = v_i + at \ implikuje t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Pripojte tento výraz pre t vo vzťahu priemernej rýchlosti:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implikuje \ frac {(x_f-x_i)} {{\ frac {(v_f-v_i )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Preskupením tohto výrazu získate:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)