Zákony kyvadlového pohybu

Kyvadlá majú zaujímavé vlastnosti, ktoré fyzici používajú na opis iných objektov. Napríklad planetárna obežná dráha sleduje podobný vzorec a hojdanie na hojdacej súprave sa môže cítiť ako na kyvadle. Tieto vlastnosti pochádzajú zo série zákonov, ktoré riadia pohyb kyvadla. Naučením sa týchto zákonov môžete porozumieť niektorým základným princípom fyziky a pohybu všeobecne.

Pohyb kyvadla možno opísať pomocou

v ktoromθpredstavuje uhol medzi reťazcom a zvislou čiarou nadol v strede,tpredstavuje čas aTje perióda, čas nevyhnutný na to, aby nastal jeden úplný cyklus pohybu kyvadla (merané ako1 / f), návrhu na kyvadlo.

​Jednoduchý harmonický pohyb, alebo pohyb, ktorý popisuje, ako rýchlosť objektu osciluje úmerne s veľkosťou posunu od rovnováhy, možno použiť na opísanie rovnice kyvadla. Pohyb hojdačky kyvadla je udržiavaný v pohybe touto silou, ktorá na neho pôsobí pri pohybe tam a späť.

•••Syed Hussain Ather

Zákony, ktoré upravujú pohyb kyvadla, viedli k objaveniu dôležitej vlastnosti. Fyzici rozdeľujú sily na vertikálnu a horizontálnu zložku. V kyvadlovom pohybe,

To ukazuje, že hmotnosť kyvadla nemá žiadny význam pre jeho pohyb, ale vodorovné napätie struny áno. Jednoduchý harmonický pohyb je podobný kruhovému pohybu. Môžete popísať objekt pohybujúci sa po kruhovej ceste, ako je to znázornené na obrázku vyššie, určením uhla a polomeru, ktorý zaujme na svojej zodpovedajúcej kruhovej ceste. Potom pomocou trigonometrie pravého trojuholníka medzi stredom kruhu, polohou objektu a posunom v oboch smeroch x a y nájdete rovnicex = rsin (θ)ay = rcos (9).​

Jednorozmerná rovnica objektu v jednoduchom harmonickom pohybe je daná vzťahomx = r cos (ωt).Môžete ďalej nahradiťAprerv ktoromAjeamplitúda, maximálny posun z počiatočnej polohy objektu.

Uhlová rýchlosťωs ohľadom na častpre tieto uhlyθje danýθ = ωt. Ak dosadíte rovnicu, ktorá spája uhlovú rýchlosť s frekvenciouf​, ​ω = 2​​πf, môžete si predstaviť tento kruhový pohyb, potom ako súčasť kyvadla kývajúceho sa tam a späť, potom výsledná jednoduchá rovnica harmonického pohybu je

•••Syed Hussain Ather

Príkladom sú kyvadla, ako napríklad omše na pružinejednoduché harmonické oscilátory: Existuje obnovovacia sila, ktorá sa zvyšuje v závislosti od toho, ako je kyvadlo posunuté, a ich pohyb možno opísať pomocoujednoduchá rovnica harmonického oscilátora​

v ktoromθpredstavuje uhol medzi reťazcom a zvislou čiarou nadol v strede,tpredstavuje čas aTjeobdobie, čas potrebný na vykonanie jedného úplného cyklu pohybu kyvadla (merané ako1 / f), návrhu na kyvadlo.

​θ_maxje ďalší spôsob, ako definovať maximum, ktoré uhol osciluje počas pohybu kyvadla, a je ďalším spôsobom, ako definovať amplitúdu kyvadla. Tento krok je vysvetlený nižšie v časti „Definícia jednoduchého kyvadla“.

Ďalším dôsledkom zákonov jednoduchého kyvadla je, že perióda kmitania s konštantnou dĺžkou nezávisí od veľkosti, tvaru, hmotnosti a materiálu predmetu na konci struny. Toto je zreteľne znázornené jednoduchou deriváciou kyvadla a výslednými rovnicami.

Môžete určiť rovnicu pre ajednoduché kyvadlo, definícia, ktorá závisí od jednoduchého harmonického oscilátora, od série krokov počínajúcich pohybovou rovnicou pre kyvadlo. Pretože sa gravitačná sila kyvadla rovná sile pohybu kyvadla, môžete si ich navzájom rovnať pomocou druhého Newtonovho zákona s hmotnosťou kyvadlaM, dĺžka šnúrkyĽ, uholθ,gravitačné zrýchleniega časový intervalt​.

•••Syed Hussain Ather

Nastavili ste druhý Newtonov zákon na okamih zotrvačnostiI = mr²na nejakú omšuma polomer kruhového pohybu (v tomto prípade dĺžka reťazca)rnásobok uhlového zrýchleniaα​.

1. ​ΣF = Ma: Druhý Newtonov zákon hovorí, že čistá silaΣFna objekte sa rovná hmotnosti objektu vynásobenej zrýchlením.
2. ​Ma = I α: Toto vám umožní nastaviť silu gravitačného zrýchlenia (-Mg sin (θ) L)rovná sa sile rotácie
   
3. ​-Mg sin (9) L = Ja α​: Môžete získať smer vertikálnej sily v dôsledku gravitácie (-Mg) výpočtom zrýchlenia akohriech (θ) Laksin (θ) = d / Lpre nejaké vodorovné posunutieda uholθ​ aby sa zohľadnil smer.
   
4. ​-Mg sin (9) L = ML² α: Rovnicu nahradíte momentom zotrvačnosti rotujúceho telesa pomocou dĺžky reťazca L ako polomeru.
   
5. ​-Mg sin (9) L = -ML²​​d²θ / dt: Počítajte s uhlovým zrýchlením nahradením druhej derivácie uhla vzhľadom na čas preα.Tento krok vyžaduje kalkul a diferenciálne rovnice.
   
6. ​d²θ / dt² + (g / L) sinθ = 0: Môžete to získať z preskupenia oboch strán rovnice
   
7. ​d²θ / dt² + (g / L) θ = 0: Môžete približnehriech (θ)akoθna účely jednoduchého kyvadla vo veľmi malých uhloch oscilácie
   
8. ​θ (t) = θ_maxcos (t (l / g))²): Pohybová rovnica má toto riešenie. Môžete to overiť použitím druhej derivácie tejto rovnice a prácou na získaní kroku 7.

Existujú aj iné spôsoby, ako urobiť jednoduchú deriváciu kyvadla. Pochopte význam jednotlivých krokov a zistite, ako spolu súvisia. Pomocou týchto teórií môžete opísať jednoduchý pohyb kyvadla, mali by ste však vziať do úvahy aj ďalšie faktory, ktoré môžu ovplyvniť teóriu jednoduchého kyvadla.

Ak porovnáte výsledok tohto odvodenia

k rovnici jednoduchého harmonického oscilátorabAk ich nastavíte na rovnakú úroveň, môžete odvodiť rovnicu pre obdobie T:

Všimnite si, že táto rovnica nezávisí od hmotnostiMkyvadla, amplitúdaθ_max, ani na čast. To znamená, že perióda nezávisí od hmotnosti, amplitúdy a času, ale spolieha sa na dĺžku reťazca. Poskytne vám stručný spôsob vyjadrenia pohybu kyvadla.

S rovnicou pre obdobie môžete zmeniť usporiadanie rovnice, aby ste získali

a nahradiť 1 sekTa9,8 m / s²pregzískaťL =0,0025 m. Pamätajte, že tieto rovnice teórie jednoduchého kyvadla predpokladajú, že dĺžka reťazca je bez trenia a bez hmotnosti. Zohľadnenie týchto faktorov by si vyžadovalo zložitejšie rovnice.

Kyvadlo môžete vytiahnuť dozaduθnechať ho kmitať tam a späť, aby videl, ako kmitá, akoby pružina mohla. Pre jednoduché kyvadlo ho môžete opísať pomocou pohybových rovníc jednoduchého harmonického oscilátora. Pohybová rovnica funguje dobre pri menších hodnotách uhla aamplitúda, maximálny uhol, pretože jednoduchý model kyvadla sa spolieha na to, žehriech (θ)​ ≈ ​θpre nejaký uhol kyvadlaθ.Keď sa hodnoty uhlov a amplitúd zväčšia o viac ako 20 stupňov, táto aproximácia tiež nefunguje.

Vyskúšajte si to sami. Kyvadlo sa hojdá s veľkým počiatočným uhlomθnebude oscilovať tak pravidelne, aby ste ho mohli opísať pomocou jednoduchého harmonického oscilátora. Pod menším začiatočným uhlomθ, kyvadlo sa oveľa ľahšie priblíži k pravidelnému oscilačnému pohybu. Pretože hmotnosť kyvadla nemá žiadny vplyv na jeho pohyb, fyzici dokázali, že všetky kyvadlá majú rovnaké obdobie pre kmitanie uhly - uhol medzi stredom kyvadla v najvyššom bode a stredom kyvadla v zastavenej polohe - menej ako 20 stupňov.

Pre všetky praktické účely kyvadla v pohybe sa kyvadlo nakoniec spomalí a zastaví sa kvôli trenie medzi povrazom a jeho pripevneným bodom vyššie, ako aj v dôsledku odporu vzduchu medzi kyvadlom a vzduchom okolo toho.

Pre praktické príklady pohybu kyvadla bude doba a rýchlosť závisieť od typu použitého materiálu, ktorý by spôsobil tieto príklady trenia a odporu vzduchu. Ak vykonávate výpočty teoretického oscilačného správania kyvadla bez zohľadnenia týchto síl, bude to predstavovať kyvadlo nekonečne oscilujúce.

Prvý Newtonov zákon definuje rýchlosť objektov v reakcii na sily. Zákon hovorí, že ak sa objekt pohybuje konkrétnou rýchlosťou a po priamke, bude sa pohybovať touto rýchlosťou a po priamke nekonečne, pokiaľ na neho nebude pôsobiť iná sila. Predstavte si, že by ste hodili loptu rovno dopredu - lopta by chodila okolo zeme znova a znova, keby na ňu nepôsobil odpor vzduchu a gravitácia. Tento zákon ukazuje, že keďže sa kyvadlo pohybuje zo strany na stranu a nie hore a dole, nemá na neho pôsobiace sily hore a dole.

Newtonov druhý zákon sa používa pri určovaní čistej sily na kyvadle nastavením gravitačnej sily rovnajúcej sa sile struny, ktorá ťahá späť na kyvadlo. Nastavením týchto rovníc navzájom môžete odvodiť pohybové rovnice kyvadla.

Tretí Newtonov zákon hovorí, že každá činnosť má reakciu rovnakej sily. Tento zákon pracuje s prvým zákonom, ktorý ukazuje, že hoci hmotnosť a gravitácia rušia vertikálnu zložku vektora napätia strún, nič nezruší horizontálnu zložku. Tento zákon ukazuje, že sily pôsobiace na kyvadlo sa môžu navzájom rušiť.

Fyzici používajú Newtonov prvý, druhý a tretí zákon na dokázanie toho, že vodorovné napätie strún pohybuje kyvadlom bez ohľadu na hmotnosť alebo gravitáciu. Zákony jednoduchého kyvadla sa riadia myšlienkami troch Newtonových pohybových zákonov.