Вы когда-нибудь видели одну из тех игрушечных птичек, способных балансировать на кончике пальца за клюв, не опрокидываясь, как по волшебству? Это вовсе не магия, которая позволяет птице балансировать, а простая физика, связанная с центром масс.
Понимание физики центра масс позволяет не только понять закон сохранения количества движения и другие связанные с этим вопросы. физика, но также может сообщать стабильность и динамику в спорте, которым вы занимаетесь, а также позволяет вам выполнять некоторую творческую балансировку действует.
Определение центра масс
Объектцентр массы, иногда также называемый центром тяжести, может рассматриваться как точка, в которой общая масса объекта или системы может рассматриваться как точечная масса. В определенных ситуациях внешние силы можно рассматривать так, как если бы они действовали на центр масс объекта.
У игрушечной птички, балансирующей на кончике пальца, центр масс находится в ее клюве. Поначалу это может показаться неправильным, поэтому балансировка кажется волшебной. Действительно, у птицы, сидящей на ветке, ее центр масс находится где-то в ее теле. Но у балансирующей игрушки-птицы часто есть утяжеленные крылья, которые разлетаются наружу и вперед, что заставляет ее балансировать по-разному.
Центр масс может быть определен для одного объекта, такого как балансирующая птица, или его можно вычислить для системы из нескольких объектов, как вы увидите в следующем разделе.
Центр масс одиночного объекта
На твердом теле всегда будет одна точка, в которой находится центр масс этого тела. Положение центра масс объекта зависит от распределения массы.
Если объект имеет однородную плотность, его центр масс определить легче. Например, в круге с однородной плотностью центр масс - это центр круга. (Однако этого не было бы, если бы круг с одной стороны был плотнее, чем с другой).
Фактически, центр масс всегда будет в геометрическом центре объекта, когда плотность однородна. (Этот геометрический центр называетсяцентроид.)
Если плотность неоднородна, есть другие способы определения центра масс. Некоторые из этих методов включают использование исчисления, что выходит за рамки данной статьи. Но один простой способ определить центр масс твердого объекта - просто попытаться сбалансировать его на кончике пальца. Центр масс будет в точке балансировки.
Другой метод, полезный для плоских объектов, заключается в следующем:
- Подвесьте фигуру к одной краевой точке вместе с отвесом.
- Проведите линию на фигуре, которая совпадает с отвесом.
- Подвесьте фигуру к другой точке края вместе с отвесом.
- Нарисуйте линию на фигуре, которая совпадает с новым отвесом.
- Две нарисованные линии должны пересекаться в одной точке.
- Эта уникальная точка пересечения является местоположением центра масс.
Однако для некоторых объектов точка баланса может находиться за пределами самого объекта. Например, подумайте о кольце. Центр масс для формы кольца находится в центре, где никакой части кольца вообще не существует.
Центр масс системы частиц.
Положение центра масс системы частиц можно рассматривать как положение их средней массы.
Можно использовать ту же идею, что и для твердого объекта, если вы представите эту систему частиц, связанных твердой безмассовой плоскостью. Тогда центр масс будет точкой баланса этой системы.
Чтобы математически определить центр масс системы частиц, можно использовать следующую простую формулу:
\ vec {r} = \ frac {1} {M} (m_1 \ vec {r_1} + m_2 \ vec {r_2} + ...
ГдеM- полная масса системы,мяиндивидуальные массы иря- их векторы положения.
В одном измерении (для масс, распределенных по прямой) вы можете заменитьрс участиемИкс.
В двух измерениях вы можете найтиИкс-координат иу-координата центра масс отдельно как:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 +... \\ \ text {} \\ y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + ...
Примеры расчета центра масс.
Пример 1:Найти координаты центра масс следующей системы частиц: частица массой 0,1 кг. расположенные в (1, 2), частица массой 0,05 кг, расположенная в (2, 4), и частица массой 0,075 кг, расположенная в (2, 1).
Решение 1:Примените формулу дляИкс-координата центра масс следующая:
x_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3) \\\ text {} \\ = \ frac {1} {0,1 + 0,05 + 0,075} (0,1 (1) + 0,05 (2 ) + 0,075 (2)) \\\ текст {} \\ = 0,079
Затем примените формулу дляу-координата центра масс следующая:
y_ {cm} = \ frac {1} {M} (m_1y_1 + m_2y_2 + m_3y_3) \\\ text {} \\ = \ frac {1} {0,1 + 0,05 + 0,075} (0,1 (2) + 0,05 (4 ) + 0,075 (1)) \\\ текст {} \\ = 2,11
Таким образом, расположение центра масс (0,079, 2,11).
Пример 2:Найдите положение центра масс равностороннего треугольника с равномерной плотностью, вершины которого лежат в точках (0, 0), (1, 0) и (1/2, √3 / 2).
Решение 2:Вам нужно найти геометрический центр этого равностороннего треугольника со стороной 1. ВИкс-координата геометрического центра проста - просто 1/2.
Ву-координат немного сложнее. Это произойдет в том месте, где линия от вершины треугольника до точки (0, 1/2) пересекается с линией от любой другой вершины до середины одной из противоположных сторон. Если вы нарисуете такое расположение, вы получите прямоугольный треугольник 30-60-90, длинная ножка которого равна 0,5, а короткая ножка - этоу-координат. Отношение между этими сторонами равно √3y = 1/2, следовательно, y = √3 / 6, а координаты центра масс равны (1/2, √3 / 6).
Движение центра масс
Местоположение центра масс объекта или системы объектов может использоваться в качестве ориентира во многих физических расчетах.
При работе с системой взаимодействующих частиц, например, нахождение центра масс системы позволяет понять линейный импульс. Когда линейный импульс сохраняется, центр масс системы будет двигаться с постоянной скоростью, даже если сами объекты отскакивают друг от друга.
Для падающего твердого объекта гравитацию можно рассматривать как действие на центр масс этого объекта, даже если этот объект вращается.
То же самое и со снарядами. Представьте, что вы подбрасываете молот, и когда он летит по дуге в воздухе, он вращается один за другим. Сначала это может показаться сложным для моделирования движением, но оказывается, что центр масс молота движется по красивой гладкой параболической траектории.
Можно провести простой эксперимент, который продемонстрирует это, прикрепив небольшой кусок светящейся ленты к центру масс молота, а затем бросив молоток, как описано, в темной комнате. Будет казаться, что светящаяся лента движется по плавной дуге, как брошенный мяч.
Простой эксперимент: найти центр масс метлы
Забавный эксперимент с центром масс, который вы можете провести дома, предполагает использование простой техники для определения центра масс метлы. Все, что вам понадобится для этого эксперимента, - одна метла и две руки.
Держа руки относительно далеко друг от друга, возьмитесь за метлу двумя указательными пальцами. Затем медленно сведите руки ближе друг к другу, продвигая их под метлу. Когда вы сведете руки ближе друг к другу, вы можете заметить, что одна рука хочет скользить по нижней стороне ручки метлы, в то время как другая остается на некоторое время перед тем, как сдвинуться.
Все время, пока ваши руки двигаются, метла остается в равновесии. В конце концов, когда ваши руки встретятся, они встретятся в месте, где находится центр масс метлы.
Центр масс человеческого тела
Центр масс человеческого тела находится где-то рядом с пупком. У мужчин центр масс, как правило, немного выше, поскольку они несут большую массу тела в верхней части тела, а у женщин центр масс ниже, потому что они несут большую массу в бедрах.
Если вы встанете на одну ногу, ваш центр масс сместится к той стороне стопы, на которой вы стоите. Вы можете заметить, что больше наклоняетесь в эту сторону. Это потому, что для того, чтобы оставаться в равновесии, ваш центр масс должен оставаться над стопой, на которой вы балансируете, иначе вы перевернетесь.
Если вы встанете одной ногой и бедром к стене и попытаетесь поднять другую ногу, вы, вероятно, обнаружите, что это невозможно, потому что стена не позволяет вашему весу переместиться через балансирную ногу.
Еще можно попробовать встать спиной к стене и прижаться пятками к стене. Затем попробуйте наклониться вперед и коснуться пола, не сгибая ног. Женщины могут быть более успешными в этой задаче, чем мужчины, потому что их центр масс находится ниже в их теле и может в конечном итоге все еще находиться выше пальцев ног, когда они наклоняются вперед.
Центр масс и устойчивости
Расположение центра масс относительно основания объекта определяет его устойчивость. Что-то считается стабильно сбалансированным, если при небольшом опрокидывании и затем отпускании оно возвращается в исходное положение вместо того, чтобы опрокинуться дальше и упасть.
Рассмотрим трехмерную форму пирамиды. Если сбалансировать на его основе, он стабилен. Если немного приподнять один конец и отпустить, он упадет обратно. Но если вы попытаетесь сбалансировать пирамиду на ее вершине, то любые отклонения от идеального баланса приведут к ее падению.
Вы можете определить, упадет ли объект в исходное положение или перевернется, посмотрев на расположение центра масс относительно основания. Как только центр масс переместится за основание, объект опрокинется.
Если вы занимаетесь спортом, вам может быть знакомо положение готовности, когда вы стоите с широкой стойкой и согнуты в коленях. Это позволяет снизить центр тяжести, а широкое основание делает вас более устойчивым. Подумайте, как сильно кто-то должен был бы подтолкнуть вас, чтобы опрокинуть вас, если вы находитесь в позиции готовности, а не когда вы стоите прямо, ноги вместе.
У некоторых автомобилей возникают проблемы с опрокидыванием на крутых поворотах. Это связано с расположением их центра масс. Если центр масс транспортного средства слишком высок, а основание недостаточно широкое, то для его опрокидывания не нужно много времени. Для устойчивости автомобиля всегда лучше, чтобы большая часть веса была как можно меньше.
