«Синус» - это математическое сокращение для отношения двух сторон прямоугольного треугольника, выраженного в виде дроби: сторона напротив какой бы угол вы ни измеряли, это числитель дроби, а гипотенуза прямоугольного треугольника - это знаменатель. Как только вы овладеете этой концепцией, она станет строительным блоком для формулы, известной как закон синусов, которую можно использовать для нахождения отсутствующие углы и стороны треугольника, если вы знаете хотя бы два его угла и одну сторону, или две стороны и одну угол.
Повторение закона синусов
Закон синусов говорит вам, что отношение угла в треугольнике к противоположной стороне будет одинаковым для всех трех углов треугольника. Или, иначе говоря:
грех (А) /а = грех (В) /б = грех (С) /c, где A, B и C - углы треугольника, а а, б а также c - длины сторон, противоположных этим углам.
Эта форма наиболее полезна для поиска недостающих углов. Если вы используете закон синусов, чтобы найти недостающую длину стороны треугольника, вы также можете записать ее с синусами в знаменателе:
а/ грех (А) = б/ sin (B) = c/sin(C)
Нахождение недостающего угла по закону синусов
Представьте, что у вас есть треугольник с одним известным углом - скажем, угол A составляет 30 градусов. Вы также знаете размер двух сторон треугольника: сторона а, который является противоположным углом A, имеет размер 4 единицы, а сторона б измеряет 6 единиц.
Остерегайтесь двусмысленного случая закона синусов, который может возникнуть, если вы, как в этой задаче, заданы длиной двух сторон и углом, который не находится между ними. Неоднозначный случай - это просто предупреждение о том, что в данном конкретном стечении обстоятельств может быть два возможных ответа на выбор. Вы уже нашли один из возможных ответов. Чтобы разобрать другой возможный ответ, вычтите только что найденный угол из 180 градусов. Добавьте результат к первому известному углу, который у вас был. Если результат меньше 180 градусов, этот «результат», который вы только что добавили к первому известному углу, является вторым возможным решением.
Введите всю известную информацию в первую форму закона синусов, которая лучше всего подходит для поиска недостающих углов:
грех (30) / 4 = грех (В) / 6 = грех (С) /c
Далее выберите цель; в этом случае найдите угол B.
Установить задачу так же просто, как установить первое и второе выражения этого уравнения равными друг другу. Не нужно сейчас беспокоиться о третьем сроке. Так что у тебя есть:
грех (30) / 4 = грех (В) / 6
Используйте калькулятор или диаграмму, чтобы найти синус известного угла. В этом случае sin (30) = 0,5, поэтому у вас есть:
(0.5) / 4 = sin (B) / 6, что упрощается до:
0,125 = грех (В) / 6
Умножьте каждую часть уравнения на 6, чтобы выделить синусоидальное измерение неизвестного угла. Это дает вам:
0,75 = грех (B)
Найдите обратный синус или арксинус неизвестного угла с помощью калькулятора или таблицы. В этом случае обратный синус 0,75 составляет примерно 48,6 градуса.
Предупреждения
Обращение к закону синусов
Представьте, что у вас есть треугольник с известными углами 15 и 30 градусов (назовем их A и B соответственно) и длиной стороны а, противоположный углу A, имеет длину 3 единицы.
Как упоминалось ранее, сумма трех углов треугольника всегда составляет 180 градусов. Итак, если вы уже знаете два угла, вы можете найти меру третьего угла, вычтя известные углы из 180:
180-15-30 = 135 градусов
Таким образом, недостающий угол составляет 135 градусов.
Заполните информацию, которую вы уже знаете, в формулу закона синусов, используя вторую форму (что проще всего при вычислении недостающей стороны):
3 / грех (15) = б/ грех (30) = c/sin(135)
Выберите, какую недостающую сторону вы хотите найти. В этом случае для удобства найдите длину стороны б.
Чтобы установить проблему, вы выберете два из синусоидальных отношений, указанных в законе синусов: одно, содержащее вашу цель (сторона б) и тот, о котором вы уже знаете всю информацию (это сторона а и угол A). Установите эти два синусоидальных отношения равными друг другу:
3 / грех (15) = б/sin(30)
Теперь решите для б. Начните с использования калькулятора или таблицы, чтобы найти значения sin (15) и sin (30) и заполните их. в ваше уравнение (для этого примера используйте дробь 1/2 вместо 0,5), что дает ты:
3/0.2588 = б/(1/2)
Обратите внимание, что ваш учитель скажет вам, насколько (и если) округлять значения синуса. Они также могут попросить вас использовать точное значение синусоидальной функции, которая в случае sin (15) очень беспорядочная (√6 - √2) / 4.
Затем упростите обе части уравнения, помня, что деление на дробь аналогично умножению на обратное:
11.5920 = 2_b_
Для удобства поменяйте местами части уравнения, поскольку переменные обычно перечислены слева:
2_b_ = 11,5920
И, наконец, закончить решение для б. В этом случае все, что вам нужно сделать, это разделить обе части уравнения на 2, что даст вам:
б = 5.7960
Таким образом, длина недостающей стороны вашего треугольника составляет 5,7960 единиц. Вы могли бы так же легко использовать ту же процедуру, чтобы решить для боковой c, устанавливая его срок в законе синусов равным сроку для стороны а, поскольку вы уже знаете полную информацию об этой стороне.