Как решить линейные неравенства

Допустим, вам нужно пойти за продуктами и у вас ограниченный бюджет. Вы хотите купить макароны и хлеб для большой группы, но вы не можете потратить больше двадцати долларов. Теоретически можно было купить только хлеб без макарон или много хлеба и только одну коробку макарон. Сколько различных комбинаций коробок для макарон и буханок хлеба вы могли бы купить? И как получить максимум от каждого за свои деньги?

Подобные проблемы называютсялинейные неравенства: уравнения, график которых представляет собой линию, но вместо знака равенства в них используются символы неравенства, например> или <.>

TL; DR (слишком длинный; Не читал)

Чтобы решить линейное неравенство, вам нужно найти все комбинацииИкса такжеукоторые делают неравенство истинным. Вы можете решать линейные неравенства с помощью алгебры или построения графиков.

​К​ ​решить линейное неравенство(или любое уравнение), вы должны найти все комбинацииИкса такжеукоторые делают это уравнение верным.

Вы можете решать линейные неравенства алгебраически или представлять решения на графике (или и то, и другое!). Давайте вместе рассмотрим несколько примеров задач.

Этот процесспочтито же самое, что и решение линейного уравнения, но с одним ключевым исключением. Взгляните на проблему ниже.

Во-первых, получите всеИкс-es по ту же сторону от знака «больше». ДобавлятьИксобеим сторонам, чтобы отменитьИксс правой стороны и толькоИксналево.

Теперь добавьте шесть с обеих сторон:

До сих пор это было точно так же, как и любое линейное уравнение. Но теперь все должно измениться!Когда вы делите обе стороны неравенства на отрицательное число, вы должны изменить направление символа неравенства.​.

Итак, для −3Икс> 18, мы разделим обе части на −3, а затем изменим знак> на знак <.>

Как насчет построения графиков? Опять же, процесс действительно похож на линейные уравнения, но есть важное отличие. Поскольку вы должны указатьвсекомбинацийИкса такжеукоторые делают неравенство истинным, вы собираетесь изобразить линию как обычно, а затем закрасите участок графика, который дает вам остальные возможные решения.

Например, как бы вы изобразили неравенствоу​ < 3​Икс​ + 6?

Во-первых, вы заметите, что неравенство находится вформа пересечения склонов, что означает, что мы можем использоватьу-перехват и наклон, чтобы быстро построить линию.

Ву-intercept - 6, поэтому нарисуйте точку в (0, 6), затем используйте тот факт, что наклон равен 3, чтобы подняться на три единицы и на одну единицу вправо, затем нарисуйте точку. Ваша точка должна быть в (1, 9). Чтобы линия получилась аккуратной и красивой, неплохо получить три точки, поэтому нарисуйте еще одну точку, начав с (1, 9) и поднявшись на три, снова на одну. Вы получите балл в (2, 12). Теперь проведите линию, соединив точки.

Большой! Вы только что изобразили равенствоу​ = 3​Икс+ 6, но помните, что исходное уравнениеу​ < 3​Икс+ 6. Используйте этот простой прием, чтобы заштриховать правильную часть графика:когда неравенство находится в форме пересечения наклона, если у вас естьуу>, затем заштрихуйте все, что находится выше линии.​

Но перепроверьте, чтобы убедиться! Когда вы закрашиваете весь участок графика, это означает, что любая из этих точек должна сделать уравнение истинным. Возьмите случайную точку, которую вы заштриховали, и вставьтеИкса такжеув исходное неравенство. Если это сработает, все готово. Если это не так, вам нужно дважды проверить свои графики и / или свою алгебру.

Последняя вещь:когда у вас есть> или ​ ≤, ​линия должна быть сплошной.Это показывает, включены ли в решение точки на самой линии.

Решение системы линейных неравенств очень похоже на решение системы уравнений.Построение графиков- самый простой способ решить линейные неравенства.

Чтобы изобразить систему линейных неравенств, изобразите свое первое неравенство, как вы это делали выше, и заштрихуйте области выше или ниже вашей линии. Затем изобразите второе неравенство. Еще раз, вы собираетесь заштриховать все участки графика, которые делают неравенство истинным. В большинстве случаев на графике будет одна область, которую вы закрасили дважды! Эторешениек системе неравенства, потому что этоучасток графика, на котором выполняются оба неравенства​.