Корни многочлена также называются его нулями, потому что корниИксзначения, при которых функция равна нулю. Когда дело доходит до фактического поиска корней, в вашем распоряжении есть несколько методов; Факторинг - это метод, который вы будете использовать чаще всего, хотя графическое отображение также может быть полезным.
Сколько корней?
Изучите член наивысшей степени полинома, то есть член с наивысшим показателем. Этот показатель показывает, сколько корней будет иметь многочлен. Итак, если наивысший показатель в вашем полиноме равен 2, он будет иметь два корня; если наивысший показатель равен 3, у него будет три корня; и так далее.
Предупреждения
-
Есть одна загвоздка: корни многочлена могут быть действительными или мнимыми. «Настоящие» корни - это члены множества, известного как действительные числа, которым на данном этапе вашей математической карьеры является каждое число, с которым вы привыкли иметь дело. Овладение воображаемыми числами - это совершенно другая тема, поэтому пока просто запомните три вещи:
- «Мнимые» корни возникают, когда у вас есть квадратный корень из отрицательного числа. Например, √ (-9).
- Мнимые корни всегда попадают в пары.
- Корни многочлена могут быть действительными или мнимыми. Итак, если у вас есть многочлен 5-й степени, у него может быть пять реальных корней, у него может быть три реальных корня и два мнимых корня, и так далее.
Поиск корней по факторингу: пример 1
Самый универсальный способ нахождения корней - это как можно больше разложить ваш многочлен на множители, а затем установить каждый член равным нулю. В этом будет больше смысла, если вы рассмотрите несколько примеров. Рассмотрим простой многочленИкс2 – 4Икс:
Краткое рассмотрение показывает, что вы можетеИксиз обоих членов полинома, что дает вам:
х (х - 4)
Установите каждый термин на ноль. Это означает решение двух уравнений:
х = 0
- первый член, установленный в ноль, и
х - 4 = 0
- второй член установлен в ноль.
У вас уже есть решение первого семестра. ЕслиИкс= 0, то все выражение равно нулю. ТакИкс= 0 - один из корней или нулей многочлена.
Теперь рассмотрим второй член и решим дляИкс. Если вы добавите 4 к обеим сторонам, у вас будет:
х - 4 + 4 = 0 + 4
что упрощает:
х = 4
Так что еслиИкс= 4, то второй множитель равен нулю, что означает, что весь многочлен тоже равен нулю.
Поскольку исходный многочлен имел вторую степень (старший показатель был равен двум), вы знаете, что у этого многочлена есть только два возможных корня. Вы уже нашли их обоих, поэтому все, что вам нужно сделать, это перечислить их:
х = 0, х = 4
Поиск корней по факторингу: пример 2
Вот еще один пример того, как найти корни факторизацией, используя при этом некоторую причудливую алгебру. Рассмотрим многочленИкс4 – 16. Беглый взгляд на его показатели показывает, что у этого многочлена должно быть четыре корня; теперь пора их найти.
Вы заметили, что этот многочлен можно переписать как разность квадратов? Так что вместоИкс4 - 16, у вас есть:
(х ^ 2) ^ 2-4 ^ 2
Что, используя формулу для разности квадратов, складывается из следующего:
(х ^ 2-4) (х ^ 2 + 4)
Первый член - это опять же разность квадратов. Таким образом, хотя вы не можете дальше множить термин справа, вы можете множить термин слева еще на один шаг:
(х - 2) (х + 2) (х ^ 2 + 4)
Пришло время найти нули. Быстро становится ясно, что еслиИкс= 2, первый множитель будет равен нулю, и, таким образом, все выражение будет равно нулю.
Аналогично, еслиИкс= −2, второй множитель будет равен нулю, как и все выражение.
ТакИкс= 2 иИкс= −2 являются нулями или корнями этого многочлена.
Но как насчет того последнего срока? Поскольку у него показатель степени «2», он должен иметь два корня. Но вы не можете разложить это выражение на множители, используя реальные числа, к которым вы привыкли. Вам придется использовать очень продвинутую математическую концепцию, называемую мнимыми числами или, если хотите, комплексными числами. Это далеко выходит за рамки вашей нынешней математической практики, поэтому пока достаточно отметить, что у вас есть два действительных корня (2 и −2) и два мнимых корня, которые вы оставите неопределенными.
Найдите корни по графику
Вы также можете найти или хотя бы оценить корни с помощью графиков. Каждый корень представляет собой точку, в которой график функции пересекаетИксось. Итак, если вы построите линию, а затем обратите внимание наИкскоординаты точки пересечения линииИксоси, вы можете вставить предполагаемыйИксзначения этих точек в ваше уравнение и проверьте, правильно ли вы их указали.
Рассмотрим первый пример, с которым вы работали, для многочленаИкс2 – 4Икс. Если вы потянете его внимательно, вы увидите, что линия пересекаетИксось наИкс= 0 иИкс= 4. Если вы введете каждое из этих значений в исходное уравнение, вы получите:
0^2 - 4(0) = 0
такИкс= 0 был допустимым нулем или корнем для этого многочлена.
4^2 - 4(4) = 0
такИкс= 4 также является допустимым нулем или корнем для этого многочлена. А поскольку многочлен имел степень 2, вы знаете, что можете перестать искать два корня.