Что такое настоящие числа?

Действительные числа - это все числа на числовой прямой от отрицательной бесконечности через ноль до положительной бесконечности. Это построение набора действительных чисел не является произвольным, а скорее является результатом эволюции натуральных чисел, используемых для подсчета. Система натуральных чисел имеет несколько несоответствий, и по мере усложнения вычислений система счисления расширилась, чтобы устранить ее ограничения. С действительными числами вычисления дают согласованные результаты, и есть несколько исключений или ограничений, которые присутствовали в более примитивных версиях системы счисления.

TL; DR (слишком длинный; Не читал)

Набор действительных чисел состоит из всех чисел в числовой строке. Это включает натуральные числа, целые числа, целые числа, рациональные числа и иррациональные числа. Он не включает мнимые или комплексные числа.

Замыкание - это свойство набора чисел, которое означает, что если разрешенные вычисления выполняются с числами, которые являются членами набора, ответами также будут числа, которые являются членами набора. Набор называется закрытым.

Натуральные числа - это счетные числа, 1, 2, 3..., а набор натуральных чисел не замкнут. Поскольку натуральные числа использовались в торговле, сразу же возникли две проблемы. В то время как в натуральных числах учитывались реальные объекты, например коровы, если у фермера было пять коров и он продал пять коров, натурального числа для результата не было. Ранние системы счисления очень быстро разработали термин для нуля, чтобы решить эту проблему. В результате появилась система целых чисел, которая представляет собой натуральные числа плюс ноль.

Вторая проблема тоже была связана с вычитанием. Пока в числах учитывались реальные объекты, такие как коровы, фермер не мог продать больше коров, чем он имел. Но когда числа стали абстрактными, вычитание больших чисел из меньших давало ответы вне системы целых чисел. В результате были введены целые числа, которые представляют собой целые числа плюс отрицательные натуральные числа. Система счисления теперь включала полную числовую строку, но только с целыми числами.

Вычисления в замкнутой системе счисления должны давать ответы изнутри системы счисления для операций, таких как сложение и умножение, но также и для их обратных операций, вычитания и разделение. Система целых чисел закрыта для сложения, вычитания и умножения, но не для деления. Если целое число делится на другое целое число, результат не всегда является целым числом.

Деление маленького целого числа на большее дает дробь. Такие дроби были добавлены в систему счисления как рациональные числа. Рациональные числа определяются как любое число, которое может быть выражено как отношение двух целых чисел. Любое произвольное десятичное число можно выразить рациональным числом. Например, 2,864 - это 2864/1000, а 0,89632 - это 89632/100000. Числовая линия теперь казалась законченной.

В числовой строке есть числа, которые нельзя выразить дробью целых чисел. Один - это отношение сторон прямоугольного треугольника к гипотенузе. Если две стороны прямоугольного треугольника равны 1 и 1, гипотенуза - это квадратный корень из 2. Квадратный корень из двух - это бесконечное десятичное число, которое не повторяется. Такие числа называются иррациональными, и они включают в себя все действительные числа, которые не являются рациональными. С этим определением числовая строка всех действительных чисел завершена, потому что любое другое действительное число, которое не является рациональным, включено в определение иррационального.

Хотя говорят, что прямая действительного числа простирается от отрицательной до положительной бесконечности, сама по себе бесконечность не является действительное число, а скорее концепция системы счисления, которая определяет его как величину, превышающую любую номер. Математически бесконечность - это ответ на 1 / x, когда x достигает нуля, но деление на ноль не определено. Если бы бесконечность была числом, это привело бы к противоречиям, потому что бесконечность не подчиняется законам арифметики. Например, бесконечность плюс 1 по-прежнему бесконечность.

Набор действительных чисел закрыт для сложения, вычитания, умножения и деления, за исключением деления на ноль, которое не определено. Набор не закрывается как минимум еще на одну операцию.

Правила умножения в наборе действительных чисел указывают, что умножение отрицательного и отрицательного положительное число дает отрицательное число, а умножение положительного или отрицательного числа дает положительное ответы. Это означает, что частный случай умножения числа на само по себе дает положительное число как для положительных, так и для отрицательных чисел. Обратным к этому частному случаю является квадратный корень из положительного числа, дающий как положительный, так и отрицательный ответ. Для квадратного корня из отрицательного числа нет ответа в наборе действительных чисел.

Концепция множества мнимых чисел решает проблему отрицательных квадратных корней в действительных числах. Квадратный корень из минус 1 определяется как i, а все мнимые числа кратны i. Чтобы завершить теорию чисел, набор комплексных чисел определяется как включающий все действительные и все мнимые числа. Реальные числа можно продолжать визуализировать на горизонтальной числовой линии, в то время как мнимые числа представляют собой вертикальную числовую линию с двумя пересекающимися в нуле. Комплексные числа - это точки на плоскости двух числовых прямых, каждая из которых имеет действительную и мнимую составляющие.