Как составить спираль из теоремы Пифагора

С точки зрения учителя, одним из достоинств геометрии является ее высокая наглядность. Например, вы можете взять теорему Пифагора - фундаментальный строительный блок геометрии - и применить ее, чтобы построить спираль в виде улитки с рядом интересных свойств. Это обманчиво простое ремесло, которое иногда называют спиралью квадратного корня или спиралью Теодора, ярко демонстрирует математические соотношения.

Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен квадрату двух других сторон. Выражаясь математически, это означает, что A в квадрате + B в квадрате = C в квадрате. Если вы знаете значения для любых двух сторон прямоугольного треугольника, вы можете использовать это вычисление, чтобы получить значение для третьей стороны. Фактическая единица измерения, которую вы выбираете, может быть любой, от дюймов до миль, но соотношение остается прежним. Это важно помнить, потому что вы не всегда будете работать с конкретным физическим измерением. Вы можете определить линию любой длины как «1» для целей расчета, а затем выразить каждую вторую линию ее отношением к выбранной единице. Вот как работает спираль.

Чтобы построить спираль, сделайте прямой угол со сторонами A и B равной длины, что станет значением «1». Затем сделайте еще один прямоугольный треугольник, используя сторону C вашего первого треугольника - гипотенузу - в качестве стороны A нового треугольника. Оставьте сторону B такой же длины и выбранного вами значения 1. Повторите тот же процесс еще раз, используя гипотенузу второго треугольника в качестве первой стороны нового треугольника. Требуется 16 треугольников, чтобы пройти весь путь до точки, где спираль начнет перекрывать вашу начальную точку, где остановился древний математик Теодор.

Теорема Пифагора говорит нам, что гипотенуза первого треугольника должна быть квадратным корнем из 2, потому что каждая сторона имеет значение 1, а 1 в квадрате по-прежнему равен 1. Таким образом, каждая сторона имеет площадь 1 в квадрате, и когда они складываются, получается 2 в квадрате. Спираль интересна тем, что гипотенуза следующего треугольника является квадратным корнем из 3, а следующая за ней - квадратным корнем из 4 и так далее. Вот почему ее часто называют спиралью квадратного корня, а не спиралью Пифагора или спиралью Теодора. С практической точки зрения, если вы планируете создать спираль, рисуя на бумаге или вырезая бумажные треугольники и прикрепляя их к картонную основу, вы можете заранее рассчитать, насколько большим может быть ваше значение 1, если готовая спираль должна уместиться на страница. Самая длинная линия будет квадратным корнем из 17 для любого значения 1, которое вы выбрали. Вы можете работать в обратном направлении от размера вашей страницы, чтобы найти подходящее значение 1.

Спираль может использоваться по-разному в классе или при обучении, в зависимости от возраста учащихся и их знакомства с основами геометрии. Если вы просто знакомите с основными понятиями, создание спирали станет полезным уроком по теореме Пифагора. Например, вы можете попросить их выполнить вычисления, используя значение 1, а затем снова используя реальную длину в дюймах или сантиметрах. Сходство спирали с раковиной улитки дает возможность обсудить математические способы отношения проявляются в естественном мире и - для детей младшего возраста - поддаются красочным декоративным схемы. Для продвинутых студентов спираль демонстрирует ряд интригующих взаимосвязей, проходя через множество витков.