Принцип Бернулли: определение, уравнение, примеры

Как летают самолеты? Почему Curveball идет по такому странному пути? И зачем тебе садиться вза пределамиваших окон во время шторма? Ответы на все эти вопросы одинаковы: они являются результатом принципа Бернулли.

Принцип Бернулли, иногда также называемый эффектом Бернулли, является одним из наиболее важных результатов в изучении гидродинамики, связывая скорость потока жидкости с давлением жидкости. Это может показаться не особенно важным, но, как показывает огромный спектр явлений, которые оно помогает объяснить, простое правило может многое рассказать о поведении системы. Гидродинамика - это изучение движущейся жидкости, и поэтому имеет смысл, что этот принцип и сопровождающее его уравнение (уравнение Бернулли) довольно регулярно возникают в этой области.

Изучение принципа, описывающего его уравнения и некоторых примеров принципа Бернулли в действии подготовит вас ко многим проблемам, с которыми вы столкнетесь в гидродинамике.

Принцип Бернулли

Принцип Бернулли назван в честь Даниэля Бернулли, швейцарского физика и математика, который его разработал. Этот принцип связывает давление жидкости с ее скоростью и высотой, и это можно объяснить сохранением энергии. Короче говоря, он утверждает, что если скорость жидкости увеличивается, то либо ее статическое давление должно уменьшаться для компенсации, либо ее потенциальная энергия должна уменьшаться.

Связь с сохранением энергии очевидна из этого: либо дополнительная скорость исходит из потенциальной энергия (т.е. энергия, которой он обладает благодаря своему положению) или от внутренней энергии, которая создает давление жидкость.

Таким образом, принцип Бернулли объясняет основные причины течения жидкости, которые физики должны учитывать в гидродинамике. Либо жидкость течет в результате подъема (поэтому ее потенциальная энергия изменяется), либо течет из-за давления различия в разных частях жидкости (поэтому жидкости в зоне с высокой энергией и с более высоким давлением перемещаются в зону с низким давлением зона). Этот принцип - очень мощный инструмент, потому что он объединяет причины движения жидкости.

Однако самое важное, что следует извлечь из этого принципа, - это то, что более быстродействующая жидкость имеет более низкое давление. Если вы запомните это, вы сможете извлечь ключевой урок из принципа, и одного этого достаточно для объяснения многих явлений, включая три во вводном абзаце.

Уравнение Бернулли

Уравнение Бернулли формулирует принцип Бернулли в более ясных и количественных терминах. Уравнение гласит, что:

P + \ frac {1} {2} \ rho v ^ 2 + \ rho gh = \ text {постоянная на всем протяжении}

Здесьпдавление,ρплотность жидкости,v- скорость жидкости,граммускорение свободного падения ичасвысота или глубина. Первый член в уравнении - это просто давление, второй член - кинетическая энергия жидкости на единицу объема, а третий член - это гравитационная потенциальная энергия на единицу объема для жидкость. Все это приравнивается к константе, поэтому вы можете видеть, что если у вас есть значение в один момент, а значение в более позднее время, вы можете установить их равными друг другу, что окажется мощным инструментом для решения гидродинамики. проблемы:

P_1 + \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 + \ rho gh_2

Однако важно отметить ограничения уравнения Бернулли. В частности, предполагается, что между точками 1 и 2 (части, отмеченные индексами) есть линия тока, есть устойчивый поток, есть отсутствие трения в потоке (из-за вязкости внутри жидкости или между жидкостью и сторонами трубы) и что жидкость имеет постоянный плотность. Обычно это не так, но для медленного потока жидкости, который можно описать как ламинарный поток, приближения уравнения подходят.

Применение принципа Бернулли - труба с сужением

Наиболее распространенный пример принципа Бернулли - это жидкость, протекающая по горизонтальной трубе, которая сужается посередине, а затем снова открывается. Это легко решить с помощью принципа Бернулли, но вам также необходимо использовать уравнение неразрывности для его решения, которое гласит:

ρA_1v_1 = ρA_2v_2

Здесь используются те же термины, кромеА, который обозначает площадь поперечного сечения трубки, и учитывая, что плотность одинакова в обеих точках, эти члены можно не принимать во внимание для целей данного расчета. Во-первых, измените уравнение неразрывности, чтобы получить выражение для скорости в суженной части:

v_2 = \ frac {A_1v_1} {A_2}

Затем это можно вставить в уравнение Бернулли, чтобы найти давление в меньшем сечении трубы:

P_1 + \ frac {1} {2} \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho v_2 ^ 2 + \ rho gh_2 \\ P_1 + \ frac {1} {2 } \ rho v_1 ^ 2 + \ rho gh_1 = P_2 + \ frac {1} {2} \ rho \ bigg (\ frac {A_1v_1} {A_2} \ bigg) ^ 2 + \ rho gh_2

Это может быть перестроено нап2, отмечая, что в этом случаечас1 = ​час2, и поэтому третий член с каждой стороны сокращается.

P_2 = P_1 + \ frac {1} {2} \ rho \ bigg (v_1 ^ 2 - \ bigg (\ frac {A_1v_1} {A_2} \ bigg) ^ 2 \ bigg)

Используя плотность воды при 4 градусах Цельсия,ρ= 1000 кг / м3, значениеп1 = 100 кПа, начальная скоростьv1 = 1,5 м / с, а площадиА1 = 5.3 × 10−4 м2 а такжеА2 = 2.65 × 10−4 м2. Это дает:

\ begin {align} P_2 & = 10 ^ 5 \ text {Pa} + \ frac {1} {2} × 1000 \ text {кг / м} ^ 3 \ bigg ((1.5 \ text {м / с}) ^ 2 - \ bigg (\ frac {5,3 × 10 ^ {- 4} \ text {m} ^ 2 × 1.5 \ text {m / s}} {2.65 × 10 ^ {- 4} \ text {m} ^ 2} \ bigg) ^ 2 \ bigg) \\ & = 9,66 × 10 ^ 4 \ text {Па} \ end {выровнен}

Согласно принципу Бернулли, давление уменьшается при увеличении скорости в сужающейся трубе. Расчет другой части этого процесса в основном включает в себя то же самое, за исключением обратного. Технически во время сужения будут некоторые потери, но для упрощенной системы, где вам не нужно учитывать вязкость, это приемлемый результат.

Другие примеры принципа Бернулли

Некоторые другие примеры принципа Бернулли в действии могут помочь прояснить концепции. Наиболее известен пример из аэродинамики и изучения конструкции крыла самолетов или аэродинамических поверхностей (хотя есть некоторые незначительные разногласия по поводу деталей).

Верхняя часть крыла самолета изогнута, а нижняя - плоская, и поскольку воздушный поток проходит от одного края крыла. крыло к другому за равные промежутки времени, это приводит к более низкому давлению на верхнюю часть крыла, чем на низ крыло. Сопутствующий перепад давления (согласно принципу Бернулли) создает подъемную силу, которая поднимает самолет и помогает ему оторваться от земли.

Работа гидроэлектростанций также зависит от принципа Бернулли одним из двух способов. Во-первых, в плотине гидроэлектростанции вода из водохранилища проходит по некоторым большим трубам, называемым водозаборными затворами, прежде чем попасть на турбину в конце. С точки зрения уравнения Бернулли, гравитационная потенциальная энергия уменьшается по мере того, как вода движется по трубе, но во многих конструкциях вода выходит черезодно и тожескорость. По уравнению ясно, что должно было произойти изменение давления, чтобы сбалансировать уравнение, и действительно, этот тип турбины берет свою энергию из энергии давления в жидкости.

Возможно, более простой для понимания тип турбины называется импульсной турбиной. Это работает за счет уменьшения размера трубы перед турбиной (с помощью сопла), что увеличивает скорость воды (согласно уравнению неразрывности) и снижает давление (по Бернулли принцип). Передача энергии в этом случае происходит за счет кинетической энергии воды.

Teachs.ru
  • Доля
instagram viewer