Разница между классической механикой и квантовой механикой огромна. В то время как в классической механике частицы и объекты имеют четко определенные положения, в квантовой механике (до измерения) можно только сказать, что частица имеет диапазон возможных положений, которые описываются в терминах вероятностей волной функция.
Уравнение Шредингера определяет волновую функцию квантово-механических систем, и изучение того, как его использовать и интерпретировать, является важной частью любого курса квантовой механики. Один из простейших примеров решения этого уравнения - для частицы в ящике.
Волновая функция
В квантовой механике частица представленаволновая функция. Обычно это обозначается греческой буквой пси (Ψ) и он зависит как от положения, так и от времени, и содержит все, что можно знать о частице.
Модуль этой функции в квадрате говорит вам о вероятности того, что частица будет найдена в позицииИксвовремятпри условии, что функция «нормализована». Это просто означает, что он настроен так, чтобы его наверняка можно было найти на
некоторыйдолжностьИксв то времяткогда результаты в каждом месте суммируются, то есть условие нормализации говорит, что:\ int _ {- \ infty} ^ \ infty \ vertΨ \ vert ^ 2 = 1
Вы можете использовать волновую функцию, чтобы вычислить математическое ожидание положения частицы в момент времени.т, где математическое ожидание означает только среднее значение, которое вы получитеИксесли вы повторили измерение большое количество раз. Конечно, это не означает, что это будет результат, который вы получите для любого конкретного измерения - то естьэффективнослучайным образом, хотя некоторые местоположения обычно значительно более вероятны, чем другие.
Есть много других величин, для которых вы можете вычислить ожидаемые значения, такие как значения импульса и энергии, а также многие другие «наблюдаемые».
Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера - это дифференциальное уравнение, которое используется для нахождения значения волновой функции и собственных состояний энергии частицы. Уравнение может быть получено из закона сохранения энергии и выражений для кинетической и потенциальной энергии частицы. Самый простой способ написать это:
H (Ψ) = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Но здесьЧАСпредставляетГамильтонов оператор, что само по себе является довольно длинным выражением:
H = \ frac {−ℏ} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + V (x)
Здесь,м- масса, ℏ - постоянная Планка, деленная на 2π, иV (Икс) - общая функция потенциальной энергии системы. Гамильтониан состоит из двух частей: первый член - это кинетическая энергия системы, а второй - потенциальная энергия.
Каждое наблюдаемое значение в квантовой механике связано с оператором, а в не зависящей от времени версии уравнения Шредингера гамильтониан является оператором энергии. Однако в показанной выше зависящей от времени версии гамильтониан также генерирует временную эволюцию волновой функции.
Объединив всю информацию, содержащуюся в уравнении, вы можете описать эволюцию частицы в пространстве и времени, а также предсказать возможные значения энергии для нее.
Независимое от времени уравнение Шредингера
Часть уравнения, зависящую от времени, может быть удалена - чтобы описать ситуацию, которая не меняется со временем, - путем разделения волновой функции на пространственную и временную части:Ψ(Икс, т) = Ψ(Икс) ж(т). Затем зависящие от времени части могут быть исключены из уравнения, в результате чего остается не зависящая от времени версия уравнения Шредингера:
H Ψ (x) = E (Ψ (x))
Eэто энергия системы. Это имеет точную форму уравнения на собственные значения сΨ(Икс) - собственная функция, аEявляется собственным значением, поэтому не зависящее от времени уравнение часто называют уравнением собственных значений для энергии квантово-механической системы. Функция времени просто задается:
f (t) = e ^ {- iEt / ℏ}
Уравнение, не зависящее от времени, полезно, поскольку оно упрощает вычисления во многих ситуациях, когда эволюция во времени не особенно важна. Это наиболее полезная форма для задач «частица в коробке» и даже для определения уровней энергии электронов вокруг атома.
Частица в коробке (бесконечный квадратный колодец)
Одно из простейших решений не зависящего от времени уравнения Шредингера - для частицы в бесконечно глубокая квадратная яма (т.е. бесконечная потенциальная яма) или одномерный ящик с базой длинаL. Конечно, это теоретические идеализации, но они дают общее представление о том, как решить уравнение Шредингера, без учета многих сложностей, существующих в природе.
Если для потенциальной энергии установлено значение 0 вне скважины, где плотность вероятности также равна 0, уравнение Шредингера для этой ситуации принимает следующий вид:
\ frac {−ℏ ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2Ψ (x)} {dx ^ 2} = E Ψ (x)
И общее решение для уравнения такой формы:
Ψ (х) знак равно A \ sin (kx) + B \ cos (kx)
Однако рассмотрение граничных условий может помочь сузить круг вопросов. ДляИкс= 0 иИкс= L, то есть сторон ящика или стенок ямы, волновая функция должна стремиться к нулю. Функция косинуса имеет значение 1, когда аргумент равен 0, поэтому для выполнения граничных условий постояннаяBдолжен равняться нулю. Это оставляет:
Ψ (х) = А \ грех (кх)
Вы также можете использовать граничные условия, чтобы установить значение дляk. Поскольку функция sin стремится к нулю при значенияхпπ, где квантовое числоп= 0, 1, 2, 3… и так далее, это означает, что когдаИкс = L, уравнение будет работать, только еслиk = пπ / L. Наконец, вы можете использовать тот факт, что волновая функция должна быть нормализована, чтобы найти значениеА(интегрировать во все возможныеИксзначения, т.е. от 0 доL, а затем установите результат равным 1 и перегруппируйте), чтобы получить окончательное выражение:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
Используя исходное уравнение и этот результат, вы можете затем решить дляE, который дает:
E = \ frac {n ^ 2ℎ ^ 2} {8mL ^ 2}
Обратите внимание, что тот факт, чтопв этом выражении означает, что уровни энергииквантованный, поэтому они не могутлюбойзначение, но только дискретный набор конкретных значений уровней энергии в зависимости от массы частицы и длины ящика.
Частица в коробке (конечный квадратный колодец)
Та же проблема становится немного более сложной, если потенциальная яма имеет конечную высоту стенки. Например, если потенциалV (Икс) принимает значениеV0 вне потенциальной ямы и 0 внутри нее волновую функцию можно определить в трех основных областях, охватываемых задачей. Однако это более сложный процесс, поэтому здесь вы сможете увидеть только результаты, а не пройти весь процесс.
Если колодец наИкс= От 0 доИкс = Lопять же, для региона, гдеИкс<0 решение:
Ψ (x) = Be ^ {kx}
Для регионаИкс > L, это:
Ψ (x) = Ae ^ {- kx}
Где
k = \ sqrt {\ frac {2me} {ℏ ^ 2}}
Для области внутри колодца, где 0 <Икс < L, общее решение:
Ψ (х) знак равно C \ sin (wx) + D \ cos (wx)
Где
w = \ sqrt {\ frac {-2m (E + V_0)} {ℏ ^ 2}}
Затем вы можете использовать граничные условия для определения значений констант.А, B, Cа такжеDс учетом того, что волновая функция и ее первая производная не только имеют определенные значения на стенках скважины, но и должны быть непрерывными всюду, а волновая функция должна быть конечной всюду.
В других случаях, таких как неглубокие ящики, узкие ящики и многих других конкретных ситуациях, вы можете найти приблизительные и различные решения.