Сохранение импульса: определение, уравнения и примеры

Любой, кто когда-либо играл в пул, знаком с законом сохранения количества движения, независимо от того, осознают он это или нет.

Закон сохранения количества движения является фундаментальным для понимания и предсказания того, что происходит, когда объекты взаимодействуют или сталкиваются. Этот закон предсказывает движения бильярдных шаров и определяет, попадет ли этот восьмой шар в угловую лузу или нет.

Что такое моментум?

Импульс определяется как произведение массы и скорости объекта. В форме уравнения это часто записывается какp = mv​.

Это векторная величина, что означает, что с ней связано направление. Направление вектора импульса объекта совпадает с направлением его вектора скорости.

Импульс изолированной системы - это сумма импульсов каждого отдельного объекта в этой системе. Изолированная система - это система взаимодействующих объектов, которые никаким образом не взаимодействуют ни с чем другим. Другими словами, на систему не действует чистая внешняя сила.

Изучение общего количества движения в изолированной системе важно, потому что оно позволяет вам делать прогнозы того, что произойдет с объектами в системе во время столкновений и взаимодействий.

Что такое законы сохранения?

Прежде чем приступить к пониманию закона сохранения количества движения, важно понять, что подразумевается под «сохраняющейся величиной».

Сохранить что-либо - значит каким-то образом предотвратить потерю или потерю. В физике говорят, что величина сохраняется, если она остается постоянной. Возможно, вы слышали это выражение, относящееся к сохранению энергии, то есть к понятию, что энергия не может быть ни создана, ни уничтожена, а только изменяет форму. Следовательно, его общее количество остается постоянным.

Когда мы говорим о сохранении импульса, мы говорим о том, что общее количество импульса остается постоянным. Этот импульс может передаваться от одного объекта к другому в изолированной системе и по-прежнему считаться сохраняющимся, если общий импульс в этой системе не изменяется.

Второй закон движения Ньютона и закон сохранения количества движения

Закон сохранения количества движения можно вывести из второго закона движения Ньютона. Напомним, что этот закон связывает чистую силу, массу и ускорение объекта какFсеть = ма​.

Уловка здесь в том, чтобы думать об этой чистой силе как о действующей на систему в целом. Закон сохранения количества движения применяется, когда результирующая сила, действующая на систему, равна 0. Это означает, что для каждого объекта в системе единственные силы, которые могут быть применены к нему, должны исходить от других объектов в системе или же каким-то образом нейтрализоваться.

Внешними силами могут быть трение, сила тяжести или сопротивление воздуха. Они должны либо не действовать, либо им необходимо противодействовать, чтобы общая сила в системе была равна 0.

Вы можете начать вывод с утвержденияFсеть = ma = 0​.

Вмв данном случае - это масса всей системы. Рассматриваемое ускорение - это чистое ускорение системы, которое относится к ускорению центра масс системы (центр масс - это среднее положение всей системы масс.)

Чтобы результирующая сила была равна 0, тогда и ускорение должно быть равно 0. Поскольку ускорение - это изменение скорости во времени, это означает, что скорость не должна изменяться. Другими словами, скорость постоянна. Отсюда получаем утверждение, чтомвсм= константа.

Гдеvсм- скорость центра масс, определяемая по формуле:

v_ {cm} = \ frac {m_1v_1 + m_2v_2 + ...} {m_1 + m_2 + ...}

Итак, теперь утверждение сводится к следующему:

m_1v_1 + m_2v_2 +... = \ текст {константа}

Это уравнение, описывающее сохранение импульса. Каждый член - это импульс одного из объектов в системе, и сумма всех импульсов должна быть постоянной. Другой способ выразить это - заявить:

m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} +... = m_1v_ {1f} + m_2v_ {2f} + ...

Где нижний индексяотносится к начальным значениям иждо конечных значений, обычно происходящих до, а затем после какого-либо взаимодействия, такого как столкновение между объектами в системе.

Упругие и неупругие столкновения

Причина, по которой закон сохранения импульса важен, заключается в том, что он может позволить вам решать для неизвестная конечная скорость и т.п. для объектов в изолированной системе, которые могут столкнуться с каждым Другие.

Такое столкновение может произойти двумя основными способами: упруго или неупруго.

Совершенно упругое столкновение - это столкновение, при котором сталкивающиеся объекты отскакивают друг от друга. Этот тип столкновения характеризуется сохранением кинетической энергии. Кинетическая энергия объекта определяется формулой:

KE = \ frac {1} {2} mv ^ 2

Если кинетическая энергия сохраняется, то сумма кинетических энергий всех объектов в системе должна оставаться постоянной как до, так и после любых столкновений. Использование сохранения кинетической энергии вместе с сохранением количества движения может позволить вам найти более одной конечной или начальной скорости в сталкивающейся системе.

Совершенно неупругое столкновение - это столкновение, при котором два объекта сталкиваются, прилипают друг к другу и затем движутся как единая масса. Это также может упростить задачу, потому что вам нужно определить только одну конечную скорость вместо двух.

В то время как импульс сохраняется в обоих типах столкновений, кинетическая энергия сохраняется только при упругом столкновении. Большинство реальных столкновений не являются ни идеально эластичными, ни совершенно неупругими, но находятся где-то посередине.

Сохранение углового момента

В предыдущем разделе описывалось сохранение количества движения. Есть еще один тип количества движения, применимый к вращательному движению, который называется угловым моментом.

Так же, как и в случае с импульсом, сохраняется момент количества движения. Угловой момент зависит от массы объекта, а также от того, насколько далеко эта масса от оси вращения.

Когда фигурист вращается, вы увидите, как он вращается быстрее, приближая руки к телу. Это потому, что их угловой момент сохраняется только в том случае, если их скорость вращения увеличивается пропорционально тому, насколько близко они подносят руки к центру.

Примеры проблем сохранения импульса

Пример 1:Два бильярдных шара одинаковой массы катятся навстречу друг другу. Один движется с начальной скоростью 2 м / с, а другой движется со скоростью 4 м / с. Если их столкновение совершенно упругое, какова конечная скорость каждого шара?

Решение 1:При решении этой задачи важно выбрать систему координат. Поскольку все происходит по прямой, вы можете решить, что движение вправо является положительным, а движение влево - отрицательным. Предположим, что первый мяч движется вправо со скоростью 2 м / с. Тогда скорость второго мяча составляет -4 м / с.

Напишите выражение для полного импульса системы до столкновения, а также для полной кинетической энергии системы до столкновения:

m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2

Вставьте значения, чтобы получить выражение для каждого:

m_1v_ {1i} + m_2v_ {2i} = 2m - 4m = -2m \\ \ frac {1} {2} m_1v_ {1i} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_2v_ {2i} ^ 2 = \ frac {1} {2} m (2) ^ 2 + \ frac {1} {2} m (-4) ^ 2 = 10 м

Обратите внимание, что, поскольку вам не были заданы значения масс, они остаются неизвестными, хотя обе массы были одинаковыми, что допускало некоторое упрощение.

После столкновения выражения для импульса и кинетической энергии имеют следующий вид:

mv_ {1f} + mv_ {2f} \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2} mv_ {2f} ^ 2

Установив начальные значения, равные конечным значениям каждого, вы можете отменить массы. После этого у вас останется система из двух уравнений и двух неизвестных величин:

mv_ {1f} + mv_ {2f} = -2m \ подразумевает v_ {1f} + v {2f} = -2 \\ \ frac {1} {2} mv_ {1f} ^ 2 + \ frac {1} {2 } mv_ {2f} ^ 2 = 10m \ подразумевает v_ {1f} ^ 2 + v {2f} ^ 2 = 20

Алгебраическое решение системы дает следующие решения:

v_ {if} = -4 \ text {м / с} v_ {2f} = 2 \ text {м / с}

Вы заметите, что поскольку два шара имели одинаковую массу, они, по сути, обменивались скоростями.

Пример 2:Автомобиль весом 1200 кг, движущийся на восток со скоростью 20 миль в час, врезается в лобовое столкновение с грузовиком весом 3000 кг, движущимся на запад со скоростью 15 миль в час. Два автомобиля слипаются при столкновении. С какой конечной скоростью они движутся?

Решение 2:Одна вещь, которую следует отметить в этой конкретной проблеме, - это единицы. Единицы измерения количества движения в системе СИ - кг · м / с. Однако вам дана масса в кг и скорость в милях в час. Обратите внимание, что пока все скорости указаны в согласованных единицах, преобразование не требуется. Когда вы решите окончательную скорость, ваш ответ будет в милях в час.

Начальный импульс системы можно выразить как:

m_cv_ {ci} + m_tv_ {ti} = 1200 \ times 20 - 3000 \ times 15 = -21 000 \ text {кг} \ times \ text {mph}

Окончательный импульс системы можно выразить как:

(m_c + m_t) v_f = 4200v_f

Закон сохранения количества движения говорит вам, что эти начальные и конечные значения должны быть равны. Вы можете решить для конечной скорости, установив начальный импульс равным конечному импульсу, решив конечную скорость следующим образом:

4200v_f = -21 000 \ подразумевает v_f = \ frac {-21000} {4200} = -5 \ text {mph}

Пример 3:Покажите, что кинетическая энергия не была сохранена в предыдущем вопросе, связанном с неупругим столкновением между автомобилем и грузовиком.

Решение 3:Начальная кинетическая энергия этой системы была:

\ frac {1} {2} m_cv_ {ci} ^ 2 + \ frac {1} {2} m_tv_ {ti} ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200) (20) ^ 2 + \ frac { 1} {2} (3000) (15) ^ 2 = 557 500 \ text {кг (миль / ч)} ^ 2

Конечная кинетическая энергия системы составила:

\ frac {1} {2} (m_c + m_t) v_f ^ 2 = \ frac {1} {2} (1200 + 3000) 5 ^ 2 = 52 500 \ text {кг (миль / ч)} ^ 2

Поскольку начальная полная кинетическая энергия и полная конечная кинетическая энергия не равны, можно сделать вывод, что кинетическая энергия не сохранялась.

Teachs.ru
  • Доля
instagram viewer