По мере того, как электрические цепи становятся более сложными с множеством ветвей и элементов, они могут становиться все более сложными. сложно определить, какой ток может протекать через любую данную ветвь, и как это отрегулировать соответственно. Полезно иметь систематический способ анализа цепей.
Важные определения
Чтобы понять законы Кирхгофа, необходимо несколько определений:
- НапряжениеV- разность потенциалов на элементе схемы. Он измеряется в вольтах (В).
- Текущийя- это мера скорости прохождения заряда через точку в цепи. Он измеряется в амперах (А).
- Сопротивлениерявляется мерой сопротивления элемента схемы протеканию тока. Он измеряется в омах (Ом).
- Закон Ома связывает эти три величины следующим уравнением:V = ИК.
Что такое законы Кирхгофа?
В 1845 году немецкий физик Густав Кирхгоф формализовал следующие два правила о схемах:
1. Правило соединения (также известное как текущий закон Кирхгофа или KCL):Сумма всех токов, протекающих в переходе в цепи, должна равняться общему току, протекающему из перехода.
Этот закон иногда формулируют по-другому: алгебраическая сумма токов, текущих в переход, равна 0. Это означало бы рассматривать любые токи, текущие в переход, как положительные, а любые токи, протекающие как отрицательные. Поскольку общий приток должен равняться общему оттоку, это эквивалентно утверждению, что суммы будет 0, так как это приведет к перемещению текущих на другую сторону уравнения с отрицательным знак.
Этот закон выполняется простым применением сохранения заряда. Все, что входит, должно равняться тому, что вытекает. Представьте, что водопроводные трубы соединяются и разветвляются подобным образом. Точно так же, как вы ожидаете, что общая вода, текущая в переход, будет равна общему количеству воды, вытекающей из перехода, так и с текущими электронами.
2. Правило петли (также известное как закон напряжения Кирхгофа или KVL):Сумма разностей потенциалов (напряжений) вокруг замкнутого контура в цепи должна равняться 0.
Чтобы понять второй закон Кирхгофа, представьте, что произошло бы, если бы это было не так. Рассмотрим одноконтурный контур, в котором есть несколько батарей и резисторов. Представьте себе начало в точкеАи обходя петлю по часовой стрелке. Вы набираете напряжение, когда идете через батарею, а затем падаете, когда вы проходите через резистор, и так далее.
Обойдя весь цикл, вы окажетесь в точкеАочередной раз. Сумма всех разностей потенциалов при обходе петли должна тогда равняться разнице потенциалов между точками.Аи сам. Ну, одна точка не может иметь два разных значения потенциала, поэтому эта сумма должна быть равна 0.
В качестве аналогии рассмотрим, что произойдет, если вы пойдете по круговой пешеходной тропе. Предположим, вы начинаете с точкиАи начинаем поход. Часть похода ведет в гору, часть - под гору и так далее. После завершения цикла вы вернетесь в точкуАочередной раз. Это обязательно тот случай, когда сумма ваших приростов и падений высоты в этом замкнутом контуре должна быть равна 0 именно потому, что высота в точкеАдолжен равняться самому себе.
Почему важны законы Кирхгофа?
При работе с простой последовательной схемой для определения тока в контуре требуется только знание приложенного напряжения и суммы сопротивлений в контуре (и затем применения закона Ома).
В параллельных цепях и электрических цепях с комбинациями последовательных и параллельных элементов, однако задача определения тока, протекающего через каждую ветвь, быстро становится более сложной. сложный. Ток, входящий в соединение, будет разделяться по мере поступления в разные части цепи, и без тщательного анализа неочевидно, сколько будет проходить в каждую сторону.
Два правила Кирхгофа позволяют анализировать все более сложные схемы. Хотя требуемые алгебраические шаги по-прежнему довольно сложны, сам процесс прост. Эти законы широко используются в области электротехники.
Умение анализировать схемы важно, чтобы избежать перегрузки элементов схемы. Если вы не знаете, какой ток будет проходить через устройство или какое напряжение упадет на нем, вы не будете знать, какой будет выходная мощность, и все это имеет значение для функционирования устройство.
Как применять законы Кирхгофа
Правила Кирхгофа можно применить для анализа принципиальной схемы, выполнив следующие шаги:
- Если ток проходит в положительном направлении через источник напряжения, это положительное значение напряжения. Если ток проходит через источник напряжения в отрицательном направлении, напряжение должно иметь отрицательный знак.
- Если ток проходит в положительном направлении через резистивный элемент, вы используете закон Ома и добавляете-Яя× R(падение напряжения на резисторе) для этого элемента. Если ток проходит в отрицательном направлении через резистивный элемент, вы добавляете+ Я я× Rдля этого элемента.
- После того, как вы обошли контур, установите эту сумму всех напряжений равной 0. Повторите для всех петель в схеме.
Для каждого филиалаяцепи, обозначьте неизвестный ток, протекающий через нее, какяяи выберите направление для этого тока. (Направление не обязательно должно быть правильным. Если окажется, что этот ток на самом деле течет в противоположном направлении, тогда вы просто получите отрицательное значение при решении для этого тока позже.)
Для каждой петли в схеме выберите направление. (Это произвольно. Вы можете выбрать против часовой стрелки или по часовой стрелке. Это не имеет значения.)
Для каждого цикла начните с одной точки и двигайтесь в выбранном направлении, складывая потенциальные различия по каждому элементу. Эти потенциальные различия можно определить следующим образом:
Для каждого перехода сумма токов, протекающих в этот переход, должна равняться сумме токов, вытекающих из этого перехода. Запишите это в виде уравнения.
Теперь у вас должен быть набор одновременных уравнений, который позволит вам определять ток (или другие неизвестные величины) во всех ветвях цепи. Последний шаг - решить эту систему алгебраически.
Примеры
Пример 1:Рассмотрим следующую схему:
Применяя Шаг 1, для каждой ветви помечаем неизвестные токи.
•••на
Применяя шаг 2, мы выбираем направление для каждого цикла в схеме следующим образом:
•••на
Теперь применим шаг 3: для каждого цикла, начиная с одной точки и идя в выбранном направлении, мы складываем разности потенциалов по каждому элементу и устанавливаем сумму равной 0.
Для петли 1 на схеме мы получаем:
-I_1 \ раз 40 - I_3 \ раз 100 + 3 = 0
Для цикла 2 на схеме мы получаем:
-I_2 \ раз 75-2 + I_3 \ раз 100 = 0
На шаге 4 мы применяем правило соединения. На нашей диаграмме есть два соединения, но оба они дают эквивалентные уравнения. А именно:
I_1 = I_2 + I_3
Наконец, на шаге 5 мы используем алгебру для решения системы уравнений относительно неизвестных токов:
Используйте уравнение соединения, чтобы подставить в уравнение первого цикла:
- (I_2 + I_3) \ раз 40 - I_3 \ раз 100 + 3 = -40I_2 - 140I_3 + 3 = 0
Решите это уравнение дляя2:
I_2 = \ frac {3-140I_3} {40}
Подставьте это во второе уравнение цикла:
- [(3-140I_3) / 40] \ раз 75 - 2 + 100I_3 = 0
Решить дляя3:
-3 \ раз 75/40 + (140 \ раз 75/40) I_3 - 2 + 100I_3 = 0 \\ \ подразумевает I_3 = (2 + 3 \ раз 75/40) / (140 \ раз 75/40 + 100) = 0,021 \ текст {A}
Используйте значениея3решить дляя2:
I_2 = (3–140 \ раз (0,021)) / 40 = 0,0015 \ текст {A}
И решить дляя1:
I_1 = I_2 + I_3 = 0,021 + 0,0015 = 0,0225 \ текст {A}
Итак, окончательный результат таков:я1= 0,0225 А,я2= 0,0015 А ия3= 0,021 А.
Подстановка этих текущих значений в исходные уравнения проверяет, поэтому мы можем быть вполне уверены в результате!
Советы
Поскольку в таких вычислениях очень легко допустить простые алгебраические ошибки, настоятельно рекомендуется убедитесь, что ваши окончательные результаты соответствуют исходным уравнениям, подключив их и убедившись, что они Работа.
Попробуйте повторить эту же задачу еще раз, но сделайте другой выбор для ваших текущих меток и направлений петли. Если все сделать аккуратно, вы должны получить тот же результат, показывая, что первоначальный выбор действительно произвольный.
(Учтите, что если вы выберете разные направления для обозначенных токов, то ваши ответы для них будут отличаться знаком минус; однако результаты все равно будут соответствовать тому же направлению и величине тока в цепи.)
Пример 2:Что такое электродвижущая сила (ЭДС)εбатареи в следующей цепи? Какой ток в каждой ветке?
•••на
Сначала мы маркируем все неизвестные токи. Позволятья2= ток вниз через среднюю ветвь ия1= ток вниз через крайнюю правую ветвь. Изображение уже показывает текущийяв крайнем левом ответвлении с надписью.
Выбор направления по часовой стрелке для каждого контура и применение схем Кирхгофа дает следующую систему уравнений:
\ begin {выровнен} & I_1 = I-I_2 \\ & \ varepsilon - 4I - 6I_2 + 8 = 0 \\ & -12I_1 - 8 + 6I_2 = 0 \ end {выровнен}
Чтобы решить, подставьтеЯ - я2дляя1в третьем уравнении, а затем подставьте данное значение дляяи решить это уравнение дляя2. Как только вы узнаетея2, ты можешь подключитьяа такжея2в первое уравнение, чтобы получитья1. Затем вы можете решить второе уравнение относительноε. Следуя этим шагам, вы получите окончательное решение:
\ begin {align} & I_2 = 16/9 = 1,78 \ text {A} \\ & I_1 = 2/9 = 0,22 \ text {A} \\ & \ varepsilon = 32/3 = 10,67 \ text {V} \ end { выровнен}
Опять же, вы всегда должны проверять свои окончательные результаты, вставляя их в исходные уравнения. Совершать простые алгебраические ошибки очень легко!