Произведение двух скалярных величин - это скаляр, а произведение скаляра на вектор - это вектор, но как насчет произведения двух векторов? Это скаляр или другой вектор? Ответ: может быть и то, и другое!
Есть два способа перемножить векторы. Один из них - это скалярное произведение, которое дает скаляр, а другой - их перекрестное произведение, которое дает другой вектор. Какой продукт использовать, зависит от конкретного сценария и количества, которое вы пытаетесь найти.
Вскалярное произведениеиногда называютскалярное произведениеили жевнутренний продукт. С геометрической точки зрения вы можете думать о скалярном произведении между двумя векторами как о способе умножения векторных значений, который учитывает только вклады в одном направлении.
- Примечание. Точечные продукты могут быть отрицательными или положительными, но этот знак не указывает направление. Хотя в одном измерении направление вектора часто указывается знаком, скалярные величины также могут иметь связанные с ними знаки, которые не являются указателями направления. Долг - лишь один из многих примеров этого.
Определение точечного произведения
Скалярное произведение векторова = (аИкс, ау)а такжеб = (bИкс, бу)в стандартной декартовой системе координат определяется следующим образом:
\ bold {a \ cdot b} = a_xb_x + a_yb_y
Когда вы берете скалярное произведение вектора на себя, возникает интересная взаимосвязь:
\ bold {a \ cdot a} = a_xa_x + a_ya_y = | \ bold {a} | ^ 2
Где |а| величина (длина)апо теореме Пифагора.
Другая формула скалярного произведения может быть получена с использованием закона косинусов. Это делается следующим образом:
Рассмотрим ненулевые векторыаа такжебвместе с их вектором разностиа - б. Расположите три вектора так, чтобы получился треугольник.
Закон косинусов из тригонометрии говорит нам, что:
| \ bold {ab} | ^ 2 = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta )
И, используя определение скалярного произведения, мы получаем:
| \ bold {ab} | ^ 2 = (\ bold {ab}) \ cdot (\ bold {ab}) = (a_x-b_X) ^ 2 + (a_y-b_y) ^ 2 \\ = (a_x) ^ 2 + (b_x) ^ 2 - 2a_xb_x + (a_y) ^ 2 + (b_y) ^ 2 - 2a_yb_y \\ = | \ bold {a} | ^ 2 + | \ bold {b} | ^ 2 - 2 \ bold {a \ cdot b}
Уравнивая оба выражения, а затем упрощая, мы получаем:
\ cancel {| \ bold {a} | ^ 2} + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 \ bold {a \ cdot b} = \ cancel {| \ bold {a} | ^ 2 } + \ cancel {| \ bold {b} | ^ 2} - 2 | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ text {} \\\ подразумевает \ boxed {\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ жирным шрифтом {b} | \ cos (\ theta)}
Эта формулировка позволяет задействовать нашу геометрическую интуицию. Количество |а| cos (θ) - величина проекции вектораана векторб.
Таким образом, мы можем думать о скалярном произведении как о проекции одного вектора на другой, а затем о произведении их значений. Другими словами, его можно рассматривать как произведение одного вектора на величину другого вектора в том же направлении, что и он сам.
Свойства точечного продукта
Ниже приведены несколько свойств скалярного произведения, которые могут оказаться полезными:
\#\текст 1. Если} \ theta = 0 \ text {, то} \ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} |
Это потому, что cos (0) = 1.
\ # \ text {2. Если} \ theta = 180 \ text {, то} \ bold {a \ cdot b} = - | \ bold {a} || \ bold {b} |
Это потому, что cos (180) = -1.
\ # \ текст {3. Если} \ theta = 90 \ text {, то} \ bold {a \ cdot b} = 0
Это потому, что cos (90) = 0.
- Примечание: для 0 <
θ
<90 скалярное произведение будет положительным, а для 90 <
θ
<180, скалярное произведение будет отрицательным.
\ # \ текст {4. } \ bold {a \ cdot b} = \ bold {b \ cdot a}
Это следует из применения закона коммутативности к определению скалярного произведения.
\ # \ text {5. } \ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {a \ cdot c}
Доказательство:
\ bold {a \ cdot (b + c)} = \ bold {a} \ cdot (b_x + c_x, b_y + c_y) \\ = a_x (b_x + c_x) + a_y (b_y + c_y) \\ = a_xb_x + a_xc_x + a_yb_y + a_yc_y \\ = (a_xb_x + a_yb_y) + (a_xc_x + a_yc_y) \\ = \ bold {a \ cdot b} + \ bold {а \ cdot c}
\ # \ текст {6. } c (\ bold {a \ cdot b}) = (c \ bold {a}) \ cdot \ bold {b}
Доказательство:
c (\ bold {a \ cdot b}) = c (a_xb_x + a_yb_y) \\ = ca_xb_x + ca_yb_y \\ = (ca_x) b_x + (ca_y) b_y \\ = (c \ bold {a}) \ cdot \ жирный {b}
Как найти точечный продукт
Пример 1:В физике работа, выполняемая силойFна объекте при его перемещенииd, определяется как:
W = \ bold {F} \ cdot \ bold {d} = | \ bold {F} || \ bold {d} | \ cos (\ theta)
Где θ - угол между вектором силы и вектором смещения.
Количество работы, выполняемой силой, является показателем того, насколько эта сила способствовала перемещению. Если сила направлена в том же направлении, что и смещение (cos (θ) = 0), она вносит свой максимальный вклад. Если он перпендикулярен смещению (cos (Ѳ) = 90), он вообще не дает никакого вклада. А если он противоположен смещению (cos (θ) = 180), он дает отрицательный вклад.
Предположим, ребенок толкает игрушечный поезд по рельсовому пути, прилагая силу 5 Н под углом 25 градусов по отношению к линии рельсового пути. Сколько работы выполняет ребенок в поезде, когда она перемещает его на 0,5 м?
Решение:
F = 5 \ text {N} \\ d = 0,5 \ text {m} \\ \ theta = 25 \ градус \\
Используя определение работы скалярным произведением и подставляя значения, мы получаем:
W = Fd \ cos (\ theta) = 5 \ times0.5 \ times \ cos (25) = \ boxed {2.27 \ text {J}}
Из этого конкретного примера должно быть еще яснее, что приложение силы, перпендикулярной направлению смещения, не работает. Если ребенок толкнет поезд под прямым углом к рельсам, поезд не будет двигаться ни вперед, ни назад по рельсам. Также интуитивно понятно, что работа, выполняемая ребенком в поезде, будет увеличиваться с уменьшением угла и приближением силы и смещения к выравниванию.
Пример 2:Мощность - еще один пример физической величины, которую можно вычислить с помощью скалярного произведения. В физике мощность равна работе, разделенной на время, но ее также можно записать как скалярное произведение силы и скорости, как показано:
P = \ frac {W} {t} = \ frac {\ bold {F \ cdot d}} {t} = \ bold {F} \ cdot \ frac {\ bold {d}} {t} = \ bold { F \ cdot v}
Гдеvэто скорость.
Рассмотрим предыдущий пример ребенка, играющего с поездом. Если вместо этого нам говорят, что та же сила применяется, заставляя поезд двигаться со скоростью 2 м / с по рельсам, то мы можем использовать скалярное произведение, чтобы найти мощность:
P = \ bold {F \ cdot v} = Fv \ cos (\ theta) = 5 \ times2 \ times \ cos (25) = 9.06 \ text {Watts}
Пример 3:Другой пример использования скалярных произведений в физике - магнитный поток. Магнитный поток - это величина магнитного поля, проходящего через данную область. Он находится как скалярное произведение магнитного поляBс площадьюА. (Направление вектора площади равнообычныйили перпендикулярно поверхности области.)
\ Phi = \ bold {B \ cdot A}
Предположим, что поле в 0,02 тесла проходит через проволочную петлю радиусом 10 см, образуя угол 30 градусов с нормалью. Что такое флюс?
\ Phi = \ bold {B \ cdot A} = BA \ cos (\ theta) = 0,02 \ times (\ pi \ times0.1 ^ 2) \ times \ cos (30) = 0,000544 \ text {Wb}
Когда этот поток изменяется, либо изменяя значение поля, либо изменяя площадь контура, либо изменяя угол поворота петли или источника поля, ток будет индуцироваться в петле, генерируя электричество!
Снова обратите внимание на интуитивное значение угла. Если бы угол составлял 90 градусов, это означало бы, что поле будет лежать в той же плоскости, что и область, и никакие силовые линии не будут проходить через петлю, что приведет к отсутствию потока. Затем величина магнитного потока увеличивается по мере приближения угла между полем и нормалью к 0. Точечное произведение позволяет нам определить, какая часть поля направлена перпендикулярно поверхности и, следовательно, вносит свой вклад в поток.
Векторная проекция и точечное произведение
В предыдущих разделах упоминалось, что скалярное произведение можно рассматривать как способ проецирования одного вектора на другой и последующего умножения их величин. Таким образом, неудивительно, что формула проекции вектора может быть получена из скалярного произведения.
Чтобы проецировать векторана векторб, мы берем скалярное произведениеасединичный векторв направленииб, а затем умножьте этот скалярный результат на тот же единичный вектор.
Единичный вектор - это вектор длины 1, лежащий в определенном направлении. Единичный вектор в направлении векторабпросто векторбделится на его величину:
\ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |}
Итак, эта проекция такова:
\ text {Проекция} \ bold {a} \ text {на} \ bold {b} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} \ Big) \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} |} = \ Big (\ bold {a} \ cdot \ frac {\ bold {b}} {| \ bold {b} | ^ 2} \ Big) \ bold {b}
Точечный продукт в более высоком измерении
Так же, как векторы существуют в более высоком измерении, то же самое и скалярное произведение. Представьте себе пример ребенка, который снова толкает поезд. Предположим, она толкает вниз и под углом в сторону дорожки. В стандартной системе координат векторы силы и смещения должны быть представлены как трехмерные.
Впразмеров скалярное произведение определяется следующим образом:
\ bold {a \ cdot b} = \ overset {n} {\ underset {i = 1} {\ sum}} a_ib_i = a_1b_1 + a_2b_2 +... + a_nb_n
Все те же свойства скалярного произведения, что и раньше, по-прежнему применяются, и закон косинусов снова дает соотношение:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta)
Где величина каждого вектора находится с помощью следующего, опять же в соответствии с теоремой Пифагора:
| \ bold {a} | = \ sqrt {\ bold {a \ cdot a}} = \ sqrt {(a_1) ^ 2 + (a_2) ^ 2 +... + (a_n) ^ 2}
Как найти точечное произведение в трех измерениях
Пример 1:Скалярное произведение особенно полезно, когда нужно найти угол между двумя векторами. Например, предположим, что мы хотим определить угол междуа= (2, 3, 2) иб= (1, 4, 0). Даже если вы нарисуете эти два вектора в 3-м пространстве, будет очень сложно осмыслить геометрию. Но математика довольно проста, если использовать тот факт, что:
\ bold {a \ cdot b} = | \ bold {a} || \ bold {b} | \ cos (\ theta) \\\ подразумевает \ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ жирный {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big)
Затем вычисление скалярного произведенияаа такжеб:
\ bold {a \ cdot b} = 2 \ times1 + 3 \ times4 + 2 \ times0 = 14
И вычисляем величины каждого вектора:
| \ bold {a} | = \ sqrt {2 ^ 2 + 3 ^ 2 + 2 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4.12 \\ | \ bold {b} | = \ sqrt {1 ^ 2 + 4 ^ 2 + 0 ^ 2} = \ sqrt {17} = 4,12
И вот наконец все воткнув, получаем:
\ theta = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {\ bold {a \ cdot b}} {| \ bold {a} || \ bold {b} |} \ Big) = \ cos ^ {- 1} \ Big (\ frac {14} {4.12 \ times 4.12} \ Big) = \ в штучной упаковке {34,4 \ градус}
Пример 2:Положительный заряд находится в координатной точке (3, 5, 4) в трехмерном пространстве. В какой точке линии, указывающей в направлении вектораа= (6, 9, 5) электрическое поле наибольшее?
Решение: исходя из наших знаний о том, как напряженность электрического поля связана с расстоянием, мы знаем, что точка на линии, ближайшей к положительному заряду, - это место, где поле будет сильнейший. Исходя из наших знаний о скалярных произведениях, мы можем предположить, что здесь имеет смысл использовать формулу проекции. Эта формула должна дать нам вектор, вершина которого находится точно в той точке, которую мы ищем.
Нам нужно вычислить:
\ text {Проекция} (3, 5, 4) \ text {на} \ bold {a} = \ Big ((3,5,4) \ cdot \ frac {\ bold {a}} {| \ bold { a} | ^ 2} \ Big) \ bold {a}
Для этого сначала найдем |а|2:
| \ bold {a} | ^ 2 = 6 ^ 2 + 9 ^ 2 + 5 ^ 2 = 142
Затем скалярное произведение:
(3,5,4) \ cdot (6,9,5) = 3 \ times6 + 5 \ times9 + 4 \ times5 = 83
Разделив это на |а|2 дает 83/142 = 0,585. Затем умножая этот скаляр наадает:
0,585 \ полужирным {a} = 0,585 \ times (6,9,5) = (3,51,5,27,2,93)
Следовательно, точка на линии, где поле наиболее сильное, равна (3,51, 5,27, 2,93).