Уравнение Шредингера - самое фундаментальное уравнение в квантовой механике, и изучение того, как его использовать и что оно означает, важно для любого начинающего физика. Уравнение названо в честь Эрвина Шредингера, получившего Нобелевскую премию вместе с Полем Дираком в 1933 году за их вклад в квантовую физику.
Уравнение Шредингера описывает волновую функцию квантово-механической системы, которая дает вероятностная информация о местонахождении частицы и других наблюдаемых величинах, таких как ее импульс. Самое важное, что вы поймете в квантовой механике после изучения уравнения, это то, что законы в квантовой сфереОчень разныеот классической механики.
Волновая функция
Волновая функция - одно из важнейших понятий квантовой механики, потому что каждая частица представлена волновой функцией. Обычно это греческая буква пси (Ψ), и это зависит от положения и времени. Когда у вас есть выражение для волновой функции частицы, оно сообщает вам все, что можно знать о физическая система, и различные значения для наблюдаемых величин могут быть получены путем применения оператора к Это.
Квадрат модуля волновой функции показывает вероятность нахождения частицы в позиции.Иксв данный моментт. Это только в том случае, если функция «нормализована», что означает, что сумма квадрата модуля по всем возможным местоположениям должна равняться 1, т.е. что частицаопределенныйбыть расположеннымгде-то.
Обратите внимание, что волновая функция предоставляет только вероятностную информацию, поэтому вы не можете предсказать результат какого-либо одного наблюдения, хотя выможетопределить среднее значение по многим измерениям.
Вы можете использовать волновую функцию для вычисления«Математическое ожидание»для положения частицы во времят, где математическим ожиданием является среднее значениеИксвы получите, если повторите измерение много раз.
Опять же, это ничего не говорит вам о конкретном измерении. Фактически, волновая функция - это скорее распределение вероятностей для отдельной частицы, чем что-либо конкретное и надежное. Используя соответствующий оператор, вы также можете получить математические ожидания для импульса, энергии и других наблюдаемых величин.
Уравнение Шредингера
Уравнение Шредингера - это линейное дифференциальное уравнение в частных производных, которое описывает эволюцию квантового состояния аналогично законам Ньютона (в частности, второму закону) в классических механика.
Однако уравнение Шредингера является волновым уравнением для волновой функции рассматриваемой частицы, и поэтому использование уравнения для предсказания будущего состояния системы иногда называют «волновой механикой». Само уравнение вытекает из закона сохранения энергии и построено вокруг оператора, называемого Гамильтониан.
Самая простая форма уравнения Шредингера для записи:
H Ψ = iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Где ℏ - приведенная постоянная Планка (т. Е. Постоянная, деленная на 2π), аЧАС- оператор гамильтониана, который соответствует сумме потенциальной энергии и кинетической энергии (полной энергии) квантовой системы. Гамильтониан сам по себе является довольно длинным выражением, поэтому полное уравнение можно записать как:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ == iℏ \ frac {\ partialΨ} {\ partial t}
Отметив, что иногда (для явно трехмерных задач) первая частная производная записывается как оператор Лапласа ∇2. По сути, гамильтониан воздействует на волновую функцию, описывая ее эволюцию в пространстве и времени. Но в не зависящей от времени версии уравнения (т.е. когда система не зависит отт) гамильтониан дает энергию системы.
Решение уравнения Шредингера означает нахождениеквантово-механическая волновая функциячто удовлетворяет его для конкретной ситуации.
Зависящее от времени уравнение Шредингера
Зависящее от времени уравнение Шредингера является версией из предыдущего раздела и описывает эволюцию волновой функции частицы во времени и пространстве. Простым случаем для рассмотрения является свободная частица, поскольку потенциальная энергияV= 0, и решение имеет вид плоской волны. Эти решения имеют вид:
Ψ = Ae ^ {kx - ωt}
Гдеk = 2π / λ, λ- длина волны, аω = E / ℏ.
Для других ситуаций часть потенциальной энергии исходного уравнения описывает граничные условия для пространственная часть волновой функции, и ее часто разделяют на функцию временной эволюции и не зависящую от времени уравнение.
Независимое от времени уравнение Шредингера
Для статических ситуаций или решений, которые формируют стоячие волны (таких как потенциальная яма, решения в стиле «частица в коробке»), вы можете разделить волновую функцию на временную и пространственную части:
Ψ (х, t) = Ψ (x) f (t)
Когда вы пройдете через это полностью, временная часть может быть сокращена, оставив форму уравнения Шредингера, котораяТолькозависит от положения частицы. Тогда не зависящая от времени волновая функция определяется выражением:
H Ψ (x) = E Ψ (x)
ЗдесьE- энергия квантово-механической системы, аЧАС- оператор Гамильтона. Эта форма уравнения принимает точную форму уравнения на собственные значения с волновой функцией - собственная функция, а энергия - собственное значение при применении оператора Гамильтона к нему. Раскладывая гамильтониан в более явный вид, его можно полностью записать как:
- \ frac {ℏ ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 Ψ} {\ partial x ^ 2} + V (x) Ψ = E Ψ (x)
Временная часть уравнения содержится в функции:
f (t) = e ^ {\ frac {iEt} {ℏ}}
Решения не зависящего от времени уравнения Шредингера
Не зависящее от времени уравнение Шредингера хорошо поддается довольно простым решениям, поскольку оно сокращает полную форму уравнения. Прекрасным примером этого является группа решений «частица в коробке», в которой предполагается, что частица находится в бесконечной квадратной потенциальной яме в одном измерении, поэтому потенциал равен нулю (т.е.V= 0) повсюду, и нет никакой возможности найти частицу за пределами колодца.
Существует также конечная квадратная яма, в которой потенциал на «стенках» ямы не бесконечен, и даже если он превышает энергию частицы, существуетнекоторыйвозможность нахождения частицы вне его за счет квантового туннелирования. Для бесконечной потенциальной ямы решения имеют вид:
Ψ (x) = \ sqrt {\ frac {2} {L}} \ sin \ bigg (\ frac {nπ} {L} x \ bigg)
ГдеLдлина колодца.
Дельта-функция потенциала очень похожа на потенциальную яму, за исключением шириныLстремится к нулю (т.е. быть бесконечно малым вокруг одной точки) и глубиной скважины, стремящейся к бесконечности, в то время как произведение двух (U0) остается постоянным. В этой очень идеализированной ситуации есть только одно связанное состояние, определяемое следующим образом:
Ψ (x) = \ frac {\ sqrt {mU_0}} {ℏ} e ^ {- \ frac {mU_0} {ℏ ^ 2} \ vert x \ vert}
С энергией:
E = - \ frac {mU_0 ^ 2} {2ℏ ^ 2}
Решение атома водорода уравнения Шредингера.
Наконец, решение атома водорода имеет очевидные приложения к реальной физике, но на практике ситуация для электрона вокруг ядра атома водорода можно рассматривать как очень похожую на потенциальную яму проблемы. Однако ситуация трехмерна и лучше всего описывается в сферических координатах.р, θ, ϕ. Решение в этом случае дается:
Ψ (x) = NR_ {n, l} (r) P ^ m_ {l} (\ cos θ) e ^ {imϕ}
Гдеп- полиномы Лежандра,р- конкретные радиальные решения, иN- константа, которую вы фиксируете, используя тот факт, что волновая функция должна быть нормализована. Уравнение дает уровни энергии, определяемые следующим образом:
E = - \ frac {\ mu Z ^ 2e ^ 4} {8ϵ_0h ^ 2n ^ 2}
ГдеZвот атомный номер (так чтоZ= 1 для атома водорода),ев данном случае это заряд электрона (а не постояннаяе = 2.7182818...), ϵ0 - диэлектрическая проницаемость свободного пространства, аμ- приведенная масса, основанная на массах протона и электрона в атоме водорода. Это выражение подходит для любого водородоподобного атома, имея в виду любую ситуацию (включая ионы), когда один электрон вращается вокруг центрального ядра.
