Чтобы построить вектор, перпендикулярный другому заданному вектору, вы можете использовать методы, основанные на скалярном произведении и перекрестном произведении векторов. Скалярное произведение векторов A = (a1, a2, a3) и B = (b1, b2, b3) равно сумме произведений соответствующих компонентов: A ∙ B = a1_b2 + a2_b2 + a3_b3. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю. Перекрестное произведение двух векторов определяется как A × B = (a2_b3 - a3_b2, a3_b1 - a1_b3, a1_b2 - a2 * b1). Перекрестное произведение двух непараллельных векторов - это вектор, перпендикулярный им обоим.
Запишите гипотетический неизвестный вектор V = (v1, v2).
Вычислите скалярное произведение этого вектора и данного вектора. Если дано U = (-3,10), то скалярное произведение равно V ∙ U = -3 v1 + 10 v2.
Установите скалярное произведение равным 0 и решите для одного неизвестного компонента через другой: v2 = (3/10) v1.
Выберите любое значение для v1. Например, пусть v1 = 1.
Решите относительно v2: v2 = 0,3. Вектор V = (1,0.3) перпендикулярен U = (-3,10). Если вы выбрали v1 = -1, вы получите вектор V ’= (-1, -0,3), который указывает в направлении, противоположном первому решению. Это единственные два направления в двумерной плоскости, перпендикулярной данному вектору. Вы можете масштабировать новый вектор до любой желаемой величины. Например, чтобы сделать его единичным вектором с величиной 1, вы должны построить W = V / (величина v) = V / (sqrt (10) = (1 / sqrt (10), 0.3 / sqrt (10)).
Выберите произвольный вектор, не параллельный данному вектору. Если вектор Y параллелен вектору X, то Y = a * X для некоторой ненулевой константы a. Для простоты используйте один из единичных базисных векторов, например X = (1, 0, 0).
Вычислите перекрестное произведение X и U, используя U = (10, 4, -1): W = X × U = (0, 1, 4).
Убедитесь, что W перпендикулярно U. W ∙ U = 0 + 4-4 = 0. Использование Y = (0, 1, 0) или Z = (0, 0, 1) даст разные перпендикулярные векторы. Все они лежали бы в плоскости, определяемой уравнением 10 v1 + 4 v2 - v3 = 0.