Освоение понятий синуса и косинуса является неотъемлемой частью тригонометрии. Но как только у вас появятся эти идеи, они станут строительными блоками для других полезных инструментов в тригонометрии, а позже и в исчислении. Например, «закон косинусов» - это специальная формула, которую вы можете использовать, чтобы найти недостающую сторону треугольника, если вы знаете длина двух других сторон плюс угол между ними, или найти углы треугольника, когда вы знаете все три стороны.
Закон косинусов
Закон косинусов существует в нескольких версиях, в зависимости от того, с какими углами или сторонами треугольника вы имеете дело:
a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2bc × \ cos (A) \\ b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 - 2ac × \ cos (B) \\ c ^ 2 = a ^ 2 + Ь ^ 2 - 2ab × \ соз (С)
В каждом случае,а, ба такжеcстороны треугольника, аА, B, или жеCугол, противоположный стороне той же буквы. ТакАугол противоположной стороныа, бугол противоположной стороныб, а такжеCугол противоположной стороныc. Это форма уравнения, которую вы используете, если вы находите длину одной из сторон треугольника.
Закон косинусов также можно переписать в версиях, которые упрощают поиск любого из трех углов треугольника, если вам известны длины всех трех сторон треугольника:
cos (A) = \ frac {b ^ 2 + c ^ 2 - a ^ 2} {2bc} \\ \, \\ cos (B) = \ frac {c ^ 2 + a ^ 2 - b ^ 2} { 2ac} \\ \, \\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Решение для стороны
Чтобы использовать закон косинусов для определения стороны треугольника, вам понадобятся три части информации: длины двух других сторон треугольника плюс угол между ними. Выберите версию формулы, в которой сторона, которую вы хотите найти, находится слева от уравнения, а уже имеющаяся у вас информация - справа. Итак, если вы хотите узнать длину стороныа, вы бы использовали версию
а ^ 2 = Ь ^ 2 + с ^ 2 - 2bc × \ cos (А)
Подставьте значения двух известных сторон и угол между ними в формулу. Если у вашего треугольника есть известные стороныба такжеcкоторые измеряют 5 единиц и 6 единиц соответственно, а угол между ними составляет 60 градусов (что также может быть выражено в радианах как π / 3), у вас будет:
а ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × \ cos (60)
Воспользуйтесь таблицей или калькулятором, чтобы найти значение косинуса; в этом случае cos (60) = 0,5, что дает вам уравнение:
а ^ 2 = 5 ^ 2 + 6 ^ 2 - (2 × 5 × 6) × 0,5
Упростите результат шага 2. Это дает вам:
а ^ 2 = 25 + 36-30
Что, в свою очередь, упрощает:
а ^ 2 = 31
Извлеките квадратный корень из обеих частей, чтобы завершить решение дляа. Это оставляет вам:
а = \ sqrt {31}
Хотя вы можете использовать диаграмму или калькулятор, чтобы оценить значение √31 (это 5,568), вам часто разрешают - и даже поощряют - оставлять ответ в более точной радикальной форме.
Решение для угла
Вы можете применить тот же процесс, чтобы найти любой из углов треугольника, если вы знаете все три его стороны. На этот раз вы выберете версию формулы, которая помещает отсутствующий угол или "не знаю" слева от знака равенства. Представьте, что вы хотите найти величину угла C (который, помните, определяется как угол, противоположный сторонеc). Вы бы использовали эту версию формулы:
\ cos (C) = \ frac {a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2} {2ab}
Подставьте известные значения - в этом типе задач это означает длины всех трех сторон треугольника - в уравнение. В качестве примера позвольте сторонам вашего треугольника бытьа= 3 единицы,б= 4 единицы иc= 25 шт. Итак, ваше уравнение становится:
\ cos (C) = \ frac {3 ^ 2 + 4 ^ 2 - 5 ^ 2} {2 × 3 × 4}
Упростив полученное уравнение, вы получите:
\ cos (C) = \ frac {0} {24}
или просто cos (C) = 0.
Вычислите обратный косинус или арккосинус 0, часто обозначаемый как cos-1(0). Или, другими словами, косинус какого угла равен 0? Фактически есть два угла, которые возвращают это значение: 90 градусов и 270 градусов. Но по определению вы знаете, что каждый угол в треугольнике должен быть меньше 180 градусов, поэтому в качестве варианта остается только 90 градусов.
Таким образом, мера вашего недостающего угла составляет 90 градусов, что означает, что вы имеете дело с прямоугольным треугольником, хотя этот метод работает и с неправильными треугольниками.