Как найти вертикальные и горизонтальные асимптоты

При отображении на графике некоторые функции непрерывны от отрицательной бесконечности до положительной бесконечности. Однако это не всегда так: другие функции прерываются в точке разрыва или выключаются и никогда не преодолевают определенную точку на графике. Вертикальные и горизонтальные асимптоты - это прямые линии, определяющие значение, к которому приближается данная функция, если она не распространяется до бесконечности в противоположных направлениях. Горизонтальные асимптоты всегда следуют формуле y = C, а вертикальные асимптоты всегда будут следовать аналогичной формуле x = C, где значение C представляет любую константу. Найти асимптоты, независимо от того, являются ли эти асимптоты горизонтальными или вертикальными, - простая задача, если вы выполните несколько шагов.

Чтобы найти вертикальную асимптоту, сначала напишите функцию, асимптоту которой вы хотите определить. Скорее всего, эта функция будет рациональной функцией, где переменная x включена где-то в знаменателе. Как правило, когда знаменатель рациональной функции приближается к нулю, она имеет вертикальную асимптоту. После того, как вы написали свою функцию, найдите значение x, при котором знаменатель равен нулю. Например, если вы работаете с функцией y = 1 / (x + 2), вы должны решить уравнение x + 2 = 0, уравнение, которое имеет ответ x = -2. Для более сложных функций может быть несколько возможных решений.

После того, как вы нашли значение x вашей функции, возьмите предел функции, поскольку x приближается к значению, которое вы нашли, в обоих направлениях. В этом примере, когда x приближается к -2 слева, y приближается к отрицательной бесконечности; когда -2 приближается справа, y стремится к положительной бесконечности. Это означает, что график функции разбивается на разрыве, переходя от отрицательной бесконечности к положительной бесконечности. Если вы работаете с более сложной функцией, которая имеет более одного возможного решения, вам нужно будет ограничить каждое возможное решение. Наконец, напишите уравнения вертикальных асимптот функции, установив x равным каждому из значений, используемых в пределах. В этом примере есть только одна асимптота: заданная уравнением вертикальная асимптота равна x = -2.

Хотя правила горизонтальных асимптот могут немного отличаться от правил для вертикальных асимптот, процесс поиска горизонтальных асимптот так же прост, как и поиск вертикальных. Начните с написания вашей функции. Горизонтальные асимптоты можно найти в большом количестве функций, но, скорее всего, они снова будут найдены в рациональных функциях. В этом примере функция y = x / (x-1). Возьмите предел функции, когда x стремится к бесконечности. В этом примере «1» можно игнорировать, потому что оно становится несущественным по мере приближения x к бесконечности (поскольку бесконечность минус 1 по-прежнему остается бесконечностью). Таким образом, функция становится x / x, что равно 1. Следовательно, предел, когда x приближается к бесконечности x / (x-1), равен 1.

Используйте решение предела, чтобы написать уравнение асимптоты. Если решение - фиксированное значение, существует горизонтальная асимптота, но если решение - бесконечность, горизонтальная асимптота отсутствует. Если решением является другая функция, асимптота существует, но она не является ни горизонтальной, ни вертикальной. В этом примере горизонтальная асимптота y = 1.

При решении задач с тригонометрическими функциями, имеющими асимптоты, не волнуйтесь: поиск асимптот для этих функций осуществляется следующим образом: просто выполнить те же шаги, которые вы используете для поиска горизонтальных и вертикальных асимптот рациональных функций, используя различные пределы. Однако, пытаясь это сделать, важно понимать, что триггерные функции являются циклическими и, как следствие, могут иметь много асимптот.