Как найти наибольший общий делитель двух чисел

Нахождение наибольшего общего множителя, или ОКФ, двух чисел полезно во многих математических ситуациях, но особенно когда дело доходит до упрощения дробей. Если вы боретесь с этим или находите общие знаменатели, изучение двух методов поиска общих факторов поможет вам достичь того, что вы собираетесь делать. Тем не менее, во-первых, неплохо было бы узнать основы факторов; Затем вы можете рассмотреть два подхода к поиску общих факторов. Наконец, вы можете посмотреть, как применить свои знания, чтобы упростить дробь.

Факторы - это числа, которые вы умножаете, чтобы получить другое число. Например, 2 и 3 делятся на 6, потому что 2 × 3 = 6. Точно так же 3 и 3 делятся на 9, потому что 3 × 3 = 9. Как вы, возможно, знаете, простые числа - это числа, у которых нет факторов, кроме самих себя и 1. Итак, 3 - простое число, потому что единственные два целых числа (целых числа), которые можно умножить вместе, чтобы получить 3 в качестве ответа, - это 3 и 1. Точно так же 7 - простое число, и 13 - тоже.

По этой причине часто бывает полезно разбить число на простые множители. Это означает нахождение всех множителей простого числа другого числа. По сути, это число разбивается на фундаментальные «строительные блоки», что является полезным шагом на пути к найти наибольший общий делитель двух чисел, а также неоценим, когда дело доходит до упрощения квадрата корнеплоды.

Самый простой способ найти наибольший общий делитель двух чисел - просто перечислить все множители каждого числа и найти наибольшее общее число. Представьте, что вы хотите найти наибольший общий множитель 45 и 60. Во-первых, посмотрите на разные числа, которые вы можете умножить, чтобы получить 45.

Самый простой способ начать с двух, которые, как вы знаете, будут работать, даже для простого числа. В этом случае мы знаем, что 1 × 45 = 45, поэтому мы знаем, что 1 и 45 являются делителями 45. Это первый и последний множители 45, так что вы можете просто заполнить их оттуда. Затем выясните, является ли 2 фактором. Это легко, потому что любое четное число делится на 2, а любое нечетное - нет. Итак, мы знаем, что 2 - это не коэффициент 45. А как насчет 3? Вы должны уметь определить, что 3 - это фактор 45, потому что 3 × 15 = 45 (вы всегда можете использовать то, что вы знать, чтобы решить это, например, вы знаете, что 3 × 12 = 36, и добавление троек к этому приводит к 45).

Далее, является ли 4 множителем 45? Нет, вы знаете, что 11 × 4 = 44, так что не может быть! А что насчет 5? Это еще один простой способ, потому что любое число, заканчивающееся на 0 или 5, делится на 5. Таким образом, вы легко заметите, что 5 × 9 = 45. Но 6 не годится, потому что 7 × 6 = 42 и 8 × 6 = 48. Из этого также видно, что 7 и 8 не делятся на 45. Мы уже знаем, что 9 есть, и легко увидеть, что 10 и 11 не являются факторами. Продолжайте этот процесс, и вы заметите, что 15 - это фактор, а все остальное - нет.

Итак, множители 45: 1, 3, 5, 9, 15 и 45.

Для 60 вы проходите точно такой же процесс. На этот раз число четное (так что вы знаете, что 2 - коэффициент) и делимое на 10 (так что 5 и 10 - оба фактора), что немного упрощает задачу. Пройдя процесс снова, вы должны увидеть, что множители 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.

Сравнение двух списков показывает, что 15 - это наибольший общий делитель 45 и 60. Этот метод может занять много времени, но он прост и всегда будет работать. Вы также можете начать с любого высокого общего множителя, который сразу заметите, а затем просто искать более высокие множители для каждого числа.

Второй метод определения ОКФ для двух чисел - использовать простые множители. Процесс простой факторизации немного проще и более структурирован, чем поиск каждого фактора. Давайте рассмотрим процесс для 42 и 63.

Процесс разложения на простые множители в основном включает разбиение числа до тех пор, пока не останутся только простые числа. Лучше всего начать с наименьшего простого числа (двух) и работать оттуда. Итак, для 42 легко увидеть, что 2 × 21 = 42. Тогда работайте с 21: 2 - фактор? Нет. 3? Да! 3 × 7 = 21, а 3 и 7 - простые числа. Это означает, что простые делители 42 равны 2, 3 и 7. Первый «перерыв» использовал 2, чтобы получить 21, а второй разбил его на 3 и 7. Вы можете проверить это, умножив все ваши множители вместе и проверив, что вы получили исходное число: 2 × 3 × 7 = 42.

Для 63 множитель не равен 2, а равен 3, потому что 3 × 21 = 63. Опять же, 21 делится на 3 и 7 - оба простые числа - так что вы знаете простые множители! Проверка показывает, что 3 × 3 × 7 = 63, что и требуется.

Вы найдете наивысший общий множитель, посмотрев, какие простые множители у этих двух чисел являются общими. В данном случае 42 имеет 2, 3 и 7, а 63 - 3, 3 и 7. У них 3 и 7 общих. Чтобы найти наибольший общий делитель, умножьте все общие простые множители вместе. В данном случае 3 × 7 = 21, поэтому 21 является наибольшим общим делителем 42 и 63.

Таким образом можно быстрее решить предыдущий пример. Поскольку 45 делится на три (3 × 15 = 45), а 15 также делится на три (3 × 5 = 15), простые множители 45 равны 3, 3 и 5. Для 60 оно делится на два (2 × 30 = 60), 30 также делится на два (2 × 15 = 30), а затем у вас остается 15, которое, как мы знаем, имеет три и пять в качестве простых множителей, оставив 2, 2, 3 и 5. Сравнивая два списка, три и пять являются общими простыми множителями, поэтому наибольший общий множитель равен 3 × 5 = 15.

Если имеется три или более общих простых множителя, вы умножаете их все вместе таким же образом, чтобы найти наибольший общий множитель.

Если вам представлена ​​дробь вроде 32/96, она может сделать любые последующие вычисления очень сложными, если вы не найдете способ упростить дробь. Нахождение наименьшего общего множителя 32 и 96 подскажет вам число, на которое нужно разделить оба значения, чтобы получить более простую дробь. В таком случае:

Для 96 процесс дает:

Должно быть ясно, что 2⁵ = 32 - самый высокий общий множитель. Разделив обе части дроби на 32, получим:

Нахождение общих знаменателей - аналогичный процесс. Представьте, что вам нужно сложить дроби 15/45 и 40/60. Из первого примера мы знаем, что 15 - это наибольший общий делитель 45 и 60, поэтому мы можем сразу выразить их как 5/15 и 10/15. Поскольку 3 × 5 = 15, и оба числителя также делятся на пять, мы можем разделить обе части обеих дробей на пять, чтобы получить 1/3 и 2/3. Теперь их намного проще добавить и увидеть, что