Евклидова геометрия, основная геометрия, изучаемая в школе, требует определенных соотношений между длинами сторон треугольника. Нельзя просто взять три случайных отрезка линии и сформировать треугольник. Отрезки должны удовлетворять теоремам о неравенстве треугольника. Другие теоремы, которые определяют отношения между сторонами треугольника, - это теорема Пифагора и закон косинусов.
Теорема о неравенстве треугольника 1
Согласно первой теореме о неравенстве треугольника, длины любых двух сторон треугольника должны в сумме превышать длину третьей стороны. Это означает, что вы не можете нарисовать треугольник со сторонами 2, 7 и 12, например, поскольку 2 + 7 меньше 12. Чтобы интуитивно почувствовать это, представьте, что сначала рисуете отрезок линии длиной 12 см. Теперь представьте себе два других отрезка длиной 2 см и 7 см, прикрепленные к двум концам отрезка 12 см. Понятно, что соединить два концевых сегмента не удастся. В сумме придется как минимум 12 см.
Теорема о неравенстве треугольника 2
Самая длинная сторона треугольника находится напротив самого большого угла. Это еще одна теорема о неравенстве треугольника, и она имеет интуитивный смысл. Из этого можно делать разные выводы. Например, у тупого треугольника самая длинная сторона должна быть стороной, противоположной тупому углу. Верно и обратное. Самый большой угол в треугольнике - это тот, который находится напротив самой длинной стороны.
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы (сторона, лежащая напротив прямого угла) равен сумме квадратов двух других сторон. Итак, если длина гипотенузы равна c, а длины двух других сторон равны a и b, то c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2. Это древняя теорема, известная на протяжении тысячелетий и веками использовавшаяся строителями и математиками.
Закон косинусов
Закон косинусов - это обобщенная версия теоремы Пифагора, которая применяется ко всем треугольникам, а не только к треугольникам с прямыми углами. Согласно этому закону, если треугольник имеет стороны длиной a, b и c, а угол поперек стороны длины c равен C, то c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2abcosC. Вы можете видеть, что когда C равно 90 градусам, cosC = 0 и закон косинусов сводится к теореме Пифагора.