Если вы видите выражения 32 и 53, вы можете во всеуслышание объявить, что они означают «три в квадрате» и «пять в кубе», и сможете найти эквивалентные числа без экспоненты, числа, представленные надстрочными индексами вверху справа вверху. В данном случае это 9 и 125.
Но что, если вместо, скажем, простой экспоненциальной функции, такой как y = x 3, вместо этого вам нужно решить уравнение типа y = 3Икс. Здесь x, зависимая переменная, отображается как показатель степени. Есть ли способ избавиться от этой переменной, чтобы упростить математическую обработку?
На самом деле есть, и ответ заключается в естественном дополнении показателей, которые являются забавными и полезными величинами, известными как логарифмы.
Что такое экспоненты?
An экспонента, также называемый мощность, представляет собой сжатый способ выражения многократного умножения числа на само себя. 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1,024.
- Любое число, возведенное в степень 1, сохраняет то же значение; любое число с показателем 0 равно 1. Например, 721 = 72; 720 = 1.
Экспоненты могут быть отрицательными, что приводит к соотношению Икс−n= 1 / (xп). Их также можно выразить дробями, например, 2(5/3). При выражении в виде дробей числитель и знаменатель должны быть целыми числами.
Что такое логарифмы?
Логарифмы или «бревна» можно рассматривать как показатели, выраженные как нечто иное, чем степень. Это, вероятно, не сильно поможет, так что, возможно, пара примеров поможет.
В выражении 103 = 1,000, число 10 - это база, и он возводится в третью степень (или сила три). Вы можете выразить это так: «Основание 10 в третьей степени равно 1000».
Пример логарифма бревно10(1,000) = 3. Обратите внимание, что числа и их отношения друг к другу такие же, как в предыдущем примере, но они были перемещены. На словах это означает, что "логарифм по основанию 10 из 1000 равен 3."
Величина справа - это степень, до которой должно быть увеличено основание 10, чтобы оно равнялось аргумент, или ввод журнала, значение в скобках (в данном случае 1000). Это значение должно быть положительным, потому что основание - которое может быть числом, отличным от 10, но предполагается, что оно равно 10, если оно опущено, например, «log 4» - также всегда положительно.
Полезные правила логарифмирования
Итак, как вы можете легко работать между журналами и показателями? Несколько правил поведения журналов могут помочь вам начать работу с проблемами экспоненты.
log_ {b} (xy) = log_ {b} {x} + log_ {b} y log_ {b} (\ dfrac {x} {y}) = log_ {b} {x} \ text {-} log_ { b} y log_ {b} (x ^ A) = A⋅log_ {b} (x) log_ {b} (\ dfrac {1} {y}) = −log_ {b} (y)
Решение для экспоненты
С приведенной выше информацией вы готовы попробовать найти показатель степени в уравнении.
Пример: если 50 = 4Икс, что такое х?
Если вы отнесете журнал к базе 10 каждой стороны и опустите явную идентификацию базы, это станет log 50 = log 4.Икс. Из окна выше вы знаете, что журнал 4Икс = х журнал 4. Это оставляет вас с
log 50 = x log 4 или x = (log 50) / (log 4).
Используя свой калькулятор или электронное устройство по выбору, вы обнаружите, что решение: (1,689 / 0,602) = 2.82.
Решение экспоненциальных уравнений с e
Те же правила применяются, когда база е, так называемые натуральный логарифм, который имеет значение около 2,7183. У вас также должна быть кнопка для этого на вашем калькуляторе. Это значение тоже получает свое обозначение: журналеx записывается просто «ln x».
- Функция y = еИкс i, где e не переменная, а константа с этим значением, является единственной функцией с наклоном, равным ее собственной высоте для всех x и y.
- Так же, как журнал1010Икс = x, ln eИкс = x для всех x.
Пример: Решите уравнение 16 = e2,7 раза.
Как и выше, ln 16 = ln e2,7 раза = 2,7x.
ln 16 = 2,77 = 2,7x, поэтому x = 2/77 / 2,7 = 1.03.