Алгебра полна повторяющихся шаблонов, которые каждый раз можно было бы вычислить с помощью арифметики. Но поскольку эти шаблоны очень распространены, обычно есть какая-то формула, которая помогает упростить вычисления. Куб бинома - отличный пример: если бы вам приходилось каждый раз вычислять его, вы бы потратили много времени на работу с карандашом и бумагой. Но как только вы знаете формулу для решения этого куба (и несколько удобных приемов для ее запоминания), найти свой ответ так же просто, как вставить правильные термины в правильные ячейки переменных.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Формула куба двучлена (а + б) является:
(а + б)3 = а3 + 3_a_2б + 3_ab_2 + б3
Вычисление куба бинома
Не нужно паниковать, когда вы видите такую проблему, как (а + б)3 перед тобой. Как только вы разделите его на знакомые компоненты, он начнет выглядеть как более знакомые математические задачи, которые вы уже решали раньше.
В этом случае полезно помнить, что
(а + б)3
такой же как
(а + б) (а + б) (а + б), который должен выглядеть намного более знакомым.
Но вместо того, чтобы каждый раз заниматься математикой с нуля, вы можете использовать «ярлык» формулы, которая представляет ответ, который вы получите. Вот формула куба двучлена:
(а + б)3 = а3 + 3а2b + 3ab2 + b3
Чтобы использовать формулу, определите, какие числа (или переменные) занимают слоты для «a» и «b» в левой части уравнение, затем подставьте те же числа (или переменные) в слоты "a" и "b" в правой части формула.
Пример 1: Решать (х + 5)3
Как вы видете, Икс занимает слот «a» в левой части формулы, а 5 занимает слот «b». Подстановка Икс и 5 в правой части формулы дает вам:
Икс3 + 3x25 + 3x52 + 53
Небольшое упрощение приближает вас к ответу:
Икс3 + 3 (5) х2 + 3 (25) х + 125
И, наконец, как только вы максимально упростили:
Икс3 + 15x2 + 75x + 125
А как насчет вычитания?
Вам не нужна другая формула для решения такой проблемы, как (г - 3)3. Если вы помните, что г - 3 такой же как у + (-3), вы можете просто переписать задачу на [Y + (-3)]3 и решите его по знакомой формуле.
Пример 2: Решать (г - 3)3
Как уже говорилось, ваш первый шаг - переписать проблему на [Y + (-3)]3.
Затем запомните формулу куба бинома:
(а + б)3 = а3 + 3а2b + 3ab2 + b3
В твоей проблеме у занимает слот «a» в левой части уравнения, а -3 занимает слот «b». Подставьте их в соответствующие ячейки в правой части уравнения, обращая особое внимание на скобки, чтобы сохранить отрицательный знак перед -3. Это дает вам:
у3 + 3 года2(-3) + 3 года (-3)2 + (-3)3
Пришло время упростить. Опять же, обращайте пристальное внимание на этот отрицательный знак, когда применяете экспоненты:
у3 + 3 (-3) года2 + 3 (9) г + (-27)
Еще один раунд упрощения дает вам ответ:
у3 - 9лет2 + 27лет - 27
Следите за суммой и разницей кубиков
Всегда обращайте пристальное внимание на то, где находятся показатели в вашей проблеме. Если вы видите проблему в форме (а + б)3, или же [а + (-b)]3, то обсуждаемая здесь формула уместна. Но если ваша проблема выглядит как (а3 + b3) или же (а3 - б3), это не куб бинома. Это сумма кубиков (в первом случае) или разность кубиков (во втором случае), и в этом случае вы применяете одну из следующих формул:
(а3 + b3) = (а + Ь) (а2 - ab + b2)
(а3 - б3) = (а - б) (а2 + ab + b2)