Как кубить биномы

Алгебра полна повторяющихся шаблонов, которые каждый раз можно было бы вычислить с помощью арифметики. Но поскольку эти шаблоны очень распространены, обычно есть какая-то формула, которая помогает упростить вычисления. Куб бинома - отличный пример: если бы вам приходилось каждый раз вычислять его, вы бы потратили много времени на работу с карандашом и бумагой. Но как только вы знаете формулу для решения этого куба (и несколько удобных приемов для ее запоминания), найти свой ответ так же просто, как вставить правильные термины в правильные ячейки переменных.

TL; DR (слишком длинный; Не читал)

Формула куба двучлена (а + б) является:

(а + б)³ = а³ + 3_a_²б + 3_ab_² + б³

Не нужно паниковать, когда вы видите такую ​​проблему, как (а + б)³ перед тобой. Как только вы разделите его на знакомые компоненты, он начнет выглядеть как более знакомые математические задачи, которые вы уже решали раньше.

В этом случае полезно помнить, что

(а + б)³

такой же как

(а + б) (а + б) (а + б), который должен выглядеть намного более знакомым.

Но вместо того, чтобы каждый раз заниматься математикой с нуля, вы можете использовать «ярлык» формулы, которая представляет ответ, который вы получите. Вот формула куба двучлена:

(а + б)³ = а³ + 3а²b + 3ab² + b³

Чтобы использовать формулу, определите, какие числа (или переменные) занимают слоты для «a» и «b» в левой части уравнение, затем подставьте те же числа (или переменные) в слоты "a" и "b" в правой части формула.

Пример 1: Решать (х + 5)³

Как вы видете, Икс занимает слот «a» в левой части формулы, а 5 занимает слот «b». Подстановка Икс и 5 в правой части формулы дает вам:

Икс³ + 3x²5 + 3x5² + 5³

Небольшое упрощение приближает вас к ответу:

Икс³ + 3 (5) х² + 3 (25) х + 125

И, наконец, как только вы максимально упростили:

Икс³ + 15x² + 75x + 125

Вам не нужна другая формула для решения такой проблемы, как (г - 3)³. Если вы помните, что г - 3 такой же как у + (-3), вы можете просто переписать задачу на [Y + (-3)]³ и решите его по знакомой формуле.

Пример 2: Решать (г - 3)³

Как уже говорилось, ваш первый шаг - переписать проблему на [Y + (-3)]³.

Затем запомните формулу куба бинома:

(а + б)³ = а³ + 3а²b + 3ab² + b³

В твоей проблеме у занимает слот «a» в левой части уравнения, а -3 занимает слот «b». Подставьте их в соответствующие ячейки в правой части уравнения, обращая особое внимание на скобки, чтобы сохранить отрицательный знак перед -3. Это дает вам:

у³ + 3 года²(-3) + 3 года (-3)² + (-3)³

Пришло время упростить. Опять же, обращайте пристальное внимание на этот отрицательный знак, когда применяете экспоненты:

у³ + 3 (-3) года² + 3 (9) г + (-27)

Еще один раунд упрощения дает вам ответ:

у³ - 9лет² + 27лет - 27

Всегда обращайте пристальное внимание на то, где находятся показатели в вашей проблеме. Если вы видите проблему в форме (а + б)³, или же [а + (-b)]³, то обсуждаемая здесь формула уместна. Но если ваша проблема выглядит как (а³ + b³) или же (а³ - б³), это не куб бинома. Это сумма кубиков (в первом случае) или разность кубиков (во втором случае), и в этом случае вы применяете одну из следующих формул:

(а³ + b³) = (а + Ь) (а² - ab + b²)

(а³ - б³) = (а - б) (а² + ab + b²)