Суперкубок не за горами, и спортсмены и фанаты со всего мира твердо сосредоточены на большой игре. Но для _math_letes большая игра может вызвать небольшую проблему, связанную с возможными счетами в игре в футбол. Имея только ограниченные варианты количества очков, которые вы можете набрать, некоторые итоги просто невозможно достичь, но какой из них самый высокий? Если вы хотите знать, что связывает монеты, футбол и куриные наггетсы из Макдональдса, это проблема для вас.
Математическая задача о Суперкубке
Проблема заключается в том, какие очки могут набрать Los Angeles Rams или New England Patriots в воскресенье. без безопасность или двухточечное преобразование. Другими словами, допустимые способы увеличить свои очки - это 3-х очковые попадания с игры и 7-х очковые тачдауны. Таким образом, без защиты вы не сможете набрать 2 очка в игре с любой комбинацией 3 и 7. Точно так же вы не можете набрать ни 4, ни 5.
Вопрос в том: Какой самый высокий балл не могу быть достигнутым с помощью только 3-х очковых попаданий с игры и 7-х очковых ударов?
Конечно, тачдауны без конверсии стоят 6, но так как вы все равно можете получить это с двумя бросками с игры, это не имеет значения для задачи. Кроме того, поскольку здесь мы имеем дело с математикой, вам не нужно беспокоиться о тактике конкретной команды или даже о каких-либо ограничениях ее способности набирать очки.
Попробуйте решить эту проблему самостоятельно, прежде чем двигаться дальше!
Поиск решения (медленный путь)
У этой проблемы есть несколько сложных математических решений (полные сведения см. В разделе "Ресурсы", но основной результат будет представлен ниже), но это хороший пример того, что это не так. нужный чтобы найти ответ.
Все, что вам нужно сделать, чтобы найти решение методом перебора, - это просто попробовать каждую из оценок по очереди. Итак, мы знаем, что вы не можете набрать 1 или 2 балла, потому что они меньше 3. Мы уже установили, что 4 и 5 невозможны, а 6 возможны с двумя бросками с игры. Сможете ли вы набрать 8 очков после 7 (что возможно)? Неа. Три броска с игры дают 9, а бросок с игры и реализованный тачдаун - 10. Но вы не можете получить 11.
С этого момента небольшая работа показывает, что:
\ begin {align} 3 × 4 & = 12 \\ 7 + (3 × 2) & = 13 \\ 7 × 2 & = 14 \\ 3 × 5 & = 15 \\ 7 + (3 × 3) & = 16 \\ (7 × 2) + 3 & = 17 \ конец {выровнено}
И на самом деле, вы можете продолжать так долго, как хотите. Кажется, ответ будет 11. Но так ли это?
Алгебраическое решение
Математики называют эти проблемы «проблемами монет Фробениуса». Исходная форма, относящаяся к монетам, например: если бы у вас была оценка только монет 4 цента и 11 центов (не настоящие монеты, но опять же, это математические задачи для вас), какая самая большая сумма денег, которую вы не могли бы производить.
С точки зрения алгебры, решение состоит в том, что с одним баллом п очки и одна оценка q баллов, наивысший балл, который вы не можете получить (N) дан кем-то:
N = pq \; - \; (р + д)
Таким образом, включение значений из задачи Суперкубка дает:
\ begin {align} N & = 3 × 7 \; – \;(3 + 7) \\ &= 21 \;–\; 10 \\ & = 11 \ end {выровнено}
Вот ответ, который мы получили медленным путем. Так что, если бы вы могли забивать только тачдауны без конверсии (6 очков) и тачдауны с конверсиями в одно очко (7 очков)? Прежде чем читать дальше, посмотрите, сможете ли вы использовать формулу для ее решения.
В этом случае формула принимает следующий вид:
\ begin {align} N & = 6 × 7 \; – \;(6 + 7) \\ &= 42 \;–\; 13 \\ & = 29 \ end {выровнено}
Проблема Цыпленка Макнаггета
Итак, игра окончена, и вы хотите наградить победившую команду поездкой в McDonald's. Но они продают McNuggets только в коробках по 9 или 20 штук. Итак, какое наибольшее количество самородков вы не могу покупать с этими (устаревшими) номерами ящиков? Прежде чем читать дальше, попробуйте использовать формулу, чтобы найти ответ.
С
N = pq \; - \; (р + д)
И с п = 9 и q = 20:
\ begin {align} N & = 9 × 20 \; – \;(9 + 20) \\ &= 180 \;–\; 29 \\ & = 151 \ end {выровнено}
Итак, при условии, что вы купили более 151 самородка - победившая команда, вероятно, будет изрядно голодна - вы можете купить любое количество самородков, которое захотите, с помощью некоторой комбинации коробок.
Вам может быть интересно, почему мы рассмотрели только двухзначные версии этой задачи. Что, если бы мы включили средства защиты или если бы McDonalds продал ящики для самородков трех размеров? Там есть нет четкой формулы в этом случае, и хотя большинство его версий могут быть решены, некоторые аспекты вопроса остаются полностью нерешенными.
Так что, возможно, когда вы смотрите игру или едите кусочки курицы размером с укус, вы можете утверждать, что пытаетесь решить открытую математическую задачу - это стоит попытаться избавиться от рутинной работы!