Представьте, что вы управляете пушкой, стремясь разрушить стены вражеского замка, чтобы ваша армия могла штурмовать и одержать победу. Если вы знаете, с какой скоростью движется мяч, когда он покидает пушку, и знаете, как далеко находятся стены, под каким углом выстрела вам нужно стрелять из пушки, чтобы успешно поразить стены?
Это пример задачи о движении снаряда, и вы можете решить эту и многие подобные задачи, используя уравнения кинематики с постоянным ускорением и некоторую базовую алгебру.
Движение снарядаТак физики описывают двумерное движение, в котором единственное ускорение, которое испытывает рассматриваемый объект, - это постоянное ускорение вниз под действием силы тяжести.
На поверхности Земли постоянное ускорениеаравнограмм= 9,8 м / с2, а объект, совершающий движение снаряда, находится всвободное падениес этим как единственный источник ускорения. В большинстве случаев он будет следовать по траектории параболы, поэтому движение будет иметь как горизонтальную, так и вертикальную составляющие. Хотя в реальной жизни это имело бы (ограниченный) эффект, к счастью, в большинстве школьных задач о движении снарядов по физике игнорируется эффект сопротивления воздуха.
Вы можете решить проблемы движения снаряда, используя значениеграмми некоторая другая основная информация о ситуации, такая как начальная скорость снаряда и направление, в котором он летит. Умение решать эти задачи необходимо для прохождения большинства вводных уроков физики, а также знакомит вас с наиболее важными концепциями и методами, которые вам понадобятся и на последующих курсах.
Уравнения движения снаряда
Уравнения движения снаряда - это уравнения постоянного ускорения из кинематики, потому что ускорение свободного падения - единственный источник ускорения, который необходимо учитывать. Для решения любой задачи о движении снаряда вам понадобятся четыре основных уравнения:
v = v_0 + в \\ s = \ bigg (\ frac {v + v_0} {2} \ bigg) t \\ s = v_0t + \ frac {1} {2} в ^ 2 \\ v ^ 2 = v_0 ^ 2 + 2 как
Здесь,vозначает скорость,v0 начальная скорость,аэто ускорение (равное ускорению внизграммво всех задачах движения снаряда),sэто смещение (от исходного положения) и как всегда успеваете,т.
Эти уравнения технически предназначены только для одного измерения, и на самом деле они могут быть представлены векторными величинами (включая скоростьv, Начальная скоростьv0 и так далее), но на практике вы можете просто использовать эти версии отдельно, один раз вИкс-направление и сразу ву-направление (и если у вас когда-либо была трехмерная проблема, вz-направление тоже).
Важно помнить, что этоиспользуется только для постоянного ускорения, что делает их идеальными для описания ситуаций, когда влияние гравитации является единственным ускорение, но не подходит для многих реальных ситуаций, когда требуется дополнительное усилие. считается.
В базовых ситуациях это все, что вам нужно, чтобы описать движение объекта, но при необходимости вы можете включить другие факторов, таких как высота, с которой был запущен снаряд, или даже решить их для наивысшей точки снаряда на его дорожка.
Решение проблем движения снаряда
Теперь, когда вы ознакомились с четырьмя версиями формулы движения снаряда, которые вам нужно будет использовать, чтобы решать проблемы, вы можете начать думать о стратегии, которую вы используете, чтобы решить движение снаряда проблема.
Основной подход состоит в том, чтобы разделить задачу на две части: одну для горизонтального движения и одну для вертикального движения. Технически это называется горизонтальным компонентом и вертикальным компонентом, и каждый имеет соответствующий набор таких величин, как горизонтальная скорость, вертикальная скорость, горизонтальное смещение, вертикальное смещение и скоро.
При таком подходе можно использовать уравнения кинематики, отметив, что времятодинакова как для горизонтальной, так и для вертикальной составляющих, но такие вещи, как начальная скорость, будут иметь разные составляющие для начальной вертикальной скорости и начальной горизонтальной скорости.
Важно понять, что для двумерного движениялюбойугол движения можно разбить на горизонтальную составляющую и вертикальную составляющую, но когда вы сделаете это, будет одна горизонтальная версия рассматриваемого уравнения и одна вертикальная версия.
Пренебрежение влиянием сопротивления воздуха значительно упрощает проблемы с движением снаряда, поскольку в горизонтальном направлении никогда не возникает проблем. ускорение в задаче о движении снаряда (свободном падении), поскольку влияние силы тяжести действует только вертикально (т. е. по направлению к поверхности Земля).
Это означает, что горизонтальная составляющая скорости - это просто постоянная скорость, и движение прекращается только тогда, когда сила тяжести опускает снаряд на уровень земли. Его можно использовать для определения времени полета, потому что оно полностью зависит оту-направленное движение и может быть полностью рассчитано на основе вертикального смещения (т. е. времениткогда вертикальное смещение равно нулю, сообщает вам время полета).
Тригонометрия в задачах движения снаряда
Если рассматриваемая задача дает вам угол запуска и начальную скорость, вам нужно будет использовать тригонометрию, чтобы найти компоненты горизонтальной и вертикальной скорости. Как только вы это сделаете, вы можете использовать методы, описанные в предыдущем разделе, для реального решения проблемы.
По сути, вы создаете прямоугольный треугольник с гипотенузой, наклоненной под углом запуска (θ) и величину скорости как длину, тогда смежная сторона является горизонтальной составляющей скорости, а противоположная сторона - вертикальной скоростью.
Нарисуйте прямоугольный треугольник, как указано, и вы увидите, что вы найдете горизонтальные и вертикальные компоненты, используя тригонометрические тождества:
\ text {cos} \; θ = \ frac {\ text {смежный}} {\ text {hypotenuse}}
\ текст {грех} \; θ = \ frac {\ text {напротив}} {\ text {hypotenuse}}
Таким образом, их можно переставить (и с противоположным знаком =vу и смежные =vИкс, т.е. вертикальная составляющая скорости и горизонтальная составляющие скорости соответственно, а гипотенуза =v0, начальная скорость), чтобы получить:
v_x = v_0 cos (θ) \\ v_y = v_0 sin (θ)
Это все тригонометрические действия, которые вам нужно будет сделать для решения проблем с движением снаряда: вставить угол запуска в уравнение, используя функции синуса и косинуса на вашем калькуляторе и умножая результат на начальную скорость снаряд.
Итак, чтобы пройти пример этого, с начальной скоростью 20 м / с и углом запуска 60 градусов, компоненты:
\ begin {align} v_x & = 20 \; \ text {m / s} × \ cos (60) \\ & = 10 \; \ text {m / s} \\ v_y & = 20 \; \ text {m / s} × \ sin (60) \\ & = 17.32 \; \ text {m / s} \ end {выравнивается}
Пример задачи о движении снаряда: взрывающийся фейерверк
Представьте, что у фейерверка есть взрыватель, сконструированный таким образом, что он взрывается в самой высокой точке своей траектории и запускается с начальной скоростью 60 м / с под углом 70 градусов к горизонтали.
Как бы вы рассчитали, какой ростчасон взрывается? И сколько времени будет после запуска, когда он взорвется?
Это одна из многих проблем, связанных с максимальной высотой снаряда, и уловка для ее решения заключается в том, чтобы отметить, что на максимальной высотеу-компонента скорости на мгновение равна 0 м / с. Подключив это значение дляvу и выбрав наиболее подходящее из кинематических уравнений, вы можете легко решить эту и любую подобную проблему.
Сначала, глядя на кинематические уравнения, выскакивает это (с добавленными индексами, чтобы показать, что мы работаем в вертикальном направлении):
v_y ^ 2 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
Это уравнение идеально, потому что вы уже знаете ускорение (ау = -грамм), начальной скорости и угла запуска (чтобы можно было вычислить вертикальную составляющуюvy0). Поскольку мы ищем ценностьsу (т.е. высотачас) когдаvу = 0, мы можем заменить конечную вертикальную составляющую скорости нулем и переставитьsу:
0 = v_ {0y} ^ 2 + 2a_ys_y
−2a_ys_y = v_ {0y} ^ 2
s_y = \ frac {−v_ {0y} ^ 2} {2a_y}
Поскольку направление вверх имеет смысл называтьу, а поскольку ускорение свободного паденияграммнаправлен вниз (т.е. в -унаправление), мы можем изменитьау для -грамм. Наконец, позвонивsу высотачас, мы можем написать:
h = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g}
Итак, единственное, что вам нужно решить для решения проблемы, - это вертикальная составляющая начальной скорости, которую вы можете сделать, используя тригонометрический подход из предыдущего раздела. Итак, с информацией из вопроса (60 м / с и 70 градусов к горизонтальному запуску) это дает:
\ begin {выровнено} v_ {0y} & = 60 \; \ text {m / s} × \ sin (70) \\ & = 56,38 \; \ text {m / s} \ end {выровнено}
Теперь вы можете найти максимальную высоту:
\ begin {align} h & = \ frac {v_ {0y} ^ 2} {2g} \\ & = \ frac {(56.38 \; \ text {м / с}) ^ 2} {2 × 9,8 \; \ text {м / с} ^ 2} \\ & = 162,19 \ text {m} \ end {выровнено}
Таким образом, фейерверк взорвется на высоте примерно 162 метра от земли.
Продолжение примера: время полета и пройденное расстояние
После решения основ задачи движения снаряда, основанной исключительно на вертикальном движении, остальная часть проблемы может быть легко решена. Прежде всего, время с момента запуска, когда взрыватель взорвется, можно определить с помощью одного из других уравнений постоянного ускорения. Глядя на варианты, следующее выражение:
s_y = \ bigg (\ frac {v_y + v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\
есть времят, что вы хотите знать; смещение, которое вы знаете для максимальной точки полета; начальная вертикальная скорость; и скорость в момент максимальной высоты (которая, как мы знаем, равна нулю). Таким образом, исходя из этого, уравнение можно перестроить, чтобы получить выражение для времени полета:
s_y = \ bigg (\ frac {v_ {0y}} {2} \ bigg) t \\ t = \ frac {2s_y} {v_ {0y}}
Итак, вставляя значения и решая длятдает:
\ begin {align} t & = \ frac {2 × 162,19 \; \ text {m}} {56,38 \; \ text {м / с}} \\ & = 5,75 \; \ text {s} \ end {выровнено}
Таким образом, фейерверк взорвется через 5,75 секунды после запуска.
Наконец, вы можете легко определить пройденное расстояние по горизонтали на основе первого уравнения, которое (в горизонтальном направлении) гласит:
v_x = v_ {0x} + a_xt
Однако, отмечая, что ускорения вИкс-направление, это просто:
v_x = v_ {0x}
Это означает, что скорость вИкснаправление одинаково на протяжении всего пути фейерверка. Учитывая, чтоv = d/т, гдеdэто пройденное расстояние, легко увидеть, чтоd = vt, и так в этом случае (сsИкс = d):
s_x = v_ {0x} t
Так что вы можете заменитьv0x используя приведенное ранее тригонометрическое выражение, введите значения и решите:
\ begin {align} s_x & = v_0 \ cos (θ) t \\ & = 60 \; \ text {m / s} × \ cos (70) × 5,75 \; \ text {s} \\ & = 118 \; \ текст {м} \ конец {выровнено}
Таким образом, до взрыва он пройдет около 118 метров.
Дополнительная проблема с движением снаряда: фейерверк Dud
Чтобы решить дополнительную задачу, представьте себе фейерверк из предыдущего примера (начальная скорость 60 м / с запущена. под углом 70 градусов к горизонтали) не взорвался на пике своей параболы и вместо этого приземлился невзорвавшийся. Можете ли вы рассчитать общее время полета в этом случае? На каком расстоянии от стартовой площадки по горизонтали он приземлится, или, другими словами, в каком направлениидиапазонснаряда?
Эта проблема работает в основном таким же образом, когда вертикальные компоненты скорости и смещения равны главное, что вам нужно учитывать, чтобы определить время полета, и исходя из этого вы можете определить диапазон. Вместо того, чтобы подробно разрабатывать решение, вы можете решить эту проблему самостоятельно на основе предыдущего примера.
Существуют формулы для дальности полета снаряда, которые вы можете найти или получить из уравнений постоянного ускорения, но это не действительно необходимо, потому что вы уже знаете максимальную высоту снаряда, и с этого момента он просто находится в свободном падении под действием сила тяжести.
Это означает, что вы можете определить время, которое требуется фейерверку, чтобы упасть на землю, а затем добавить его ко времени полета до максимальной высоты, чтобы определить общее время полета. С этого момента для определения дальности используется тот же процесс, что и постоянная скорость в горизонтальном направлении наряду со временем полета.
Покажите, что время полета составляет 11,5 секунд, а дальность - 236 м, при этом вам потребуется вычислить вертикальную составляющую скорости в точке падения на землю в качестве промежуточного шаг.