В повседневной жизни большинство людей используют терминыскоростьа такжескоростьвзаимозаменяемо, но для физиков они являются примерами двух очень разных типов величин.
Задачи механики связаны с движением объектов, и хотя вы можете просто описать движение с точки зрения скорости, конкретное направление, в котором что-то движется, часто имеет решающее значение.
Точно так же силы, приложенные к объектам, могут поступать со многих разных направлений - подумайте, например, о противодействующих силах в перетягивании каната - так что физики, описывающие подобные ситуации, должны использовать величины, которые описывают как «размер» таких вещей, как силы, так и направление, в котором они действовать. Эти величины называютсявекторов.
TL; DR (слишком длинный; Не читал)
Вектор имеет как величину, так и определенное направление, но скалярная величина имеет только величину.
Векторы vs. Скаляры
Ключевое различие между векторами и скалярами состоит в том, что величина вектора не полностью описывает его; также должно быть определенное направление.
Направление вектора может быть указано множеством способов, будь то положительные или отрицательные знаки перед ним, выражая его в виде компонентов (скалярные значения рядом с соответствующимия, jа такжеk«Единичный вектор», которые соответствуют декартовым координатамИкс, уа такжеzсоответственно), добавив угол по отношению к указанному направлению (например, «60 градусов отИкс-axis ») или просто добавив несколько слов для описания направления (например,« северо-запад »).
Напротив, скаляр - это просто величина вектора без каких-либо дополнительных обозначений или информации - например, скорость является скалярным эквивалентом вектора скорости. С математической точки зрения это абсолютное значение вектора.
Однако многие величины, такие как энергия, давление, длина, масса, мощность и температура, являются примерами скаляров, которые не являются просто величиной соответствующего вектора. Вам не нужно знать «направление» массы, например, чтобы иметь полное представление о ней как о физическом свойстве.
Есть несколько противоречивых фактов, которые вы можете понять, зная разницу между скалярными и вектор, такой как идея о том, что что-то может иметь постоянную скорость, но постоянно изменяющуюся скорость. Представьте себе автомобиль, движущийся по кругу с постоянной скоростью 10 км / ч. Поскольку направление вектора является частью его определения, вектор скорости автомобиля всегда изменяется в этом примере, несмотря на то, что величина вектора (т.е. его скорость) равна постоянный.
Примеры векторных величин
В физике есть много примеров векторов, но некоторые из самых известных примеров - сила, импульс, ускорение и скорость, и все они сильно характерны для классической физики. Вектор скорости может отображаться как 25 м / с на восток, −8 км / ч на востоке.у-направление,v= 5 м / ся+ 10 м / сj, или 10 м / с в направлении 50 градусов отИкс-ось.
Векторы импульса - еще один пример, который вы можете использовать, чтобы увидеть, как величина и направление вектора отображаются в физике. Они работают так же, как примеры векторов скорости, с 50 кг м / с на запад и −12 км / ч наzнаправление,п= 12 кг м / ся- 10 кг м / сj- 15 кг м / сkи 100 кг м / с 30 градусов отИкс-axis являются примерами того, как они могут отображаться. Те же основные точки используются для отображения векторов ускорения, с той лишь разницей, что единица измерения м / с.2 и обычно используемый символ вектора,а.
Сила - последний из этих примеров векторных выражений, и хотя есть много общего, с использованием цилиндрических координат (р, θ, z) вместо декартовых координат может помочь показать другие способы их отображения. Например, вы можете написать силу какF= 10 Нр+ 35 Н𝛉, для силы с компонентами в радиальном и азимутальном направлениях, или описать силу тяжести, действующую на объект массой 1 кг на Земле, как 10 Н в -рнаправление (т. е. к центру планеты).
Векторные обозначения в диаграммах
На диаграммах векторы отображаются с помощью стрелок, причем величина вектора представлена длиной стрелки, а его направление - направлением, в котором указывает стрелка. Например, большая стрелка показывает, что сила больше (т. Е. Больше ньютонов или большая величина), чем другая сила.
Для вектора, показывающего движение, такого как импульс или вектор скорости,нулевой вектор(т.е. вектор, не представляющий ни скорости, ни импульса) отображается с помощью одной точки.
Стоит отметить, что длина стрелки представляет собой величину вектора, а ее ориентация представляет направление вектора. При создании векторной диаграммы полезно быть достаточно точным. Он не обязательно должен быть идеальным, но если векторавдвое больше вектораб, стрелка должна быть примерно вдвое длиннее.
Сложение и вычитание векторов
Сложение векторов и вычитание векторов немного сложнее, чем сложение и вычитание скаляров, но вы можете легко понять эти концепции. Вы можете использовать два основных подхода, каждый из которых имеет потенциальное применение в зависимости от конкретной проблемы, которую вы решаете.
Первый и самый простой в использовании, когда вам даны два вектора в форме компонентов, - это просто добавить совпадающие компоненты так же, как вы добавляете обычные скаляры. Например, если вам нужно сложить две силыF1 = 5 Ня+ 10 Нjа такжеF2 = 6 Ня+ 15 Нj+ 10 Нk, вы бы добавилиякомпоненты, тоjкомпоненты и, наконец,kследующие компоненты:
\ begin {align} \ bm {F} _1 + \ bm {F} _2 & = (5 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 10 \; \ text {N} \; \ bold { j}) + (6 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 15 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ text {N} \; \ bold { k}) \\ & = (5 \; \ text {N} + 6 \; \ text {N}) \ bold {i} + (10 \; \ text {N} + 15 \; \ text {N}) \ bold {j} + (0 \; \ text {N} + 10 \; \ text {N}) \ bold {k} \\ & = 11 \; \ text {N} \; \ bold {i} + 25 \; \ text {N} \; \ bold {j} + 10 \; \ текст {N} \; \ bold {k} \ end {выровнен}
Вычитание векторов работает точно так же, за исключением того, что вы вычитаете величины, а не складываете их. Сложение векторов также коммутативно, как обычное сложение с действительными числами, поэтомуа + б = б + а.
Вы также можете выполнить векторное сложение, используя диаграммы со стрелками, наложив векторные стрелки головой к хвосту, а затем рисование новой векторной стрелки для суммы векторов, соединяющих хвост первой стрелки с головкой второй.
Если у вас есть простое векторное сложение с одним вИкс-направление и еще одно ву-направлении диаграмма образует прямоугольный треугольник. Вы можете завершить сложение векторов и определить величину и направление результирующего вектора, «решив» треугольник, используя тригонометрию и теорему Пифагора.
Точечное произведение и перекрестное произведение
Умножение векторов немного сложнее, чем скалярное умножение действительных чисел, но двумя основными формами умножения являются скалярное произведение и перекрестное произведение. Скалярное произведение называется скалярным произведением и определяется как:
\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = u_1v_1 + u_2v_2 + u_3v_3
или же
\ bm {u} \; ∙ \; \ bm {v} = \ lvert \ bm {u} \ rvert \ lvert \ bm {v} \ rvert \ text {cos} (θ)
гдеθ- угол между двумя векторами, а нижние индексы 1, 2 и 3 представляют первую, вторую и третью компоненты вектора. Результатом скалярного произведения является скаляр.
Перекрестное произведение определяется как:
\ bm {a} \; \ bold {×} \; \ bm {b} = (a_2b_3 - a_3b_2, a_3b_1 - a_1b_3, a_1b_2 - a_2b_1)
с запятыми, разделяющими компоненты результата в разные стороны.
