Физики сравнивают моменты инерции вращающихся объектов, чтобы определить, какие из них будет труднее ускорить или замедлить. Это применимо к ситуациям реального мира, например к выяснению, какие объекты будут катиться быстрее всего в гонке.
Факторами, которые изменяют момент инерции объекта, являются его масса, то, как эта масса распределяется, определяемая его формой и радиусом, и ось вращения, на которой он вращается.
Моменты инерции для обычных объектов
На этой диаграмме показаны уравнения момента инерции для нескольких распространенных форм, вращающихся вокруг разных осей вращения.
Сравнение моментов инерции
Вот несколько примеров физических задач, которые требуют использования моментов инерции для сравнения различных объектов.
1. Что из перечисленного будет легче всего начать вращать: полая сфера массой 7 кг и радиусом 0,2 м или сплошная сфера массой 10 кг того же радиуса?
Начните с определения моментов инерции каждого объекта. Согласно таблице, уравнение дляполая сфераявляется:I = 2 / 3мр2, а уравнение длятвердая сфераявляетсяI = 2 / 5мр2.
Подставляя заданные массы и радиусы:
Полая сфера: I = 2/3 (7 кг) (0,2 м)2 = 0.19 кгм2
Твердый сфера: I = 2/5 (10 кг) (0,2 м)2 = 0.16 кгм2
Момент инерциименьше для твердой сферы, так будетпроще всего начать вращаться.
2. В каком направлении труднее всего вращать карандаш: по длине, вокруг центра или один за другим? Предположим, карандаш имеет длину 10 см (0,1 м) и радиус поперечного сечения 3 мм (0,003 м).
В этом случае масса карандаша не имеет значения при сравнении, так как она не меняется.
Чтобы определить, какие уравнения применимы, аппроксимируйте форму карандаша как цилиндра.
Тогда три необходимых уравнения момента инерции:
Цилиндр о его длине(ось проходит через все, от кончика до ластика, поэтому радиус до оси вращенияявляетсярадиус его поперечного сечения):
I = \ frac {1} {2} mr ^ 2 = \ frac {1} {2} m (0,003) ^ 2 = 0,0000045 м
Цилиндр вокруг своего центра(удерживается посередине, поэтому радиус его вращения равенполовина его длины):
I = \ frac {1} {12} mr ^ 2 = \ frac {1} {12} m (0,05) ^ 2 = 0,0002083 м
Цилиндр вокруг его конца(удерживается за кончик или ластик, поэтому радиус до оси вращенияявляетсяего длина):
I = \ frac {1} {3} mr ^ 2 = \ frac {1} {3} m (0,1) ^ 2 = 0,003333 м
Чем выше момент инерции объекта, тем сложнее начать (или остановить) его вращение.Поскольку каждое значение умножается на одно и то жем, чем больше значение дроби, умноженной на r2, тем больше будет момент инерции. В данном случае 0,0033333> 0,0002083> 0,0000045, поэтомутруднее вращать карандаш вокруг его концачем вокруг двух других осей.
3. Какой объект первым достигнет нижней части рампы, если все они имеют одинаковую массу и радиус и все они будут выпущены сверху одновременно: обруч, цилиндр или сплошная сфера? Не обращайте внимания на трение.
Ключ к ответу на эту проблему - применение пониманиясохранение энергии. Если все объекты имеют одинаковую массу и начинаются на одной высоте, они должны начинаться с одинакового количествагравитационно потенциальная энергия. Этополная энергияони могут преобразовывать в кинетическую энергию и спускаться по рампе.
Поскольку объекты будут катиться по рампе, они должны преобразовывать свою первоначальную потенциальную энергию в обе.вращательная и линейная кинетическая энергии.
Вот в чем загвоздка: чем больше энергии из этого общего пирога требуется объекту,начать вращаться, тем меньше он будет доступен длялинейное движение. Это означаетчем легче заставить объект катиться, тем быстрее он будет двигаться линейно вниз по рампе, выиграв гонку.
Затем, поскольку все массы и радиусы одинаковы, простое сравнение долей перед каждым уравнением инерции дает ответ:
Твердая сфера: Я =2/5Мистер2
Обруч вокруг оси: Я = г-н2
Цельный цилиндр о его длине: Я =1/2Мистер2
От наименьшего до наибольшего момента инерции и, следовательно,от первого до последнего, чтобы достичь дна: сфера, цилиндр, обруч.