Угловой момент: определение, уравнение, единицы (со схемами и примерами)

Рассмотрим сцену: вы и ваш друг по независящим от вас причинам стоите на вершине длинного спускающегося ската. Каждому из вас выдан мяч радиусом ровно 1 метр. Вам сказали, что ваш сделан из однородного пеноподобного материала и имеет массу 5 кг. Мяч вашего друга также имеет массу 5 кг, которую вы проверяете с помощью удобных весов.

Ваш друг хочет поспорить, что если вы одновременно отпустите два шара, ваш первым доберется до дна. Вы можете возразить, что, поскольку шары имеют одинаковую массу и одинаковый радиус (и, следовательно, объем), они будут ускоряться под действием силы тяжести вниз по рампе с одинаковой скоростью на протяжении всего спуска. Но что-то останавливает вашу "инерцию" ставок, и вы не берете пари ...

... как оказалось, мудро. Хотя поначалу это не имеет смысла, мяч вашего друга, судя по всему, ваш собственный близнец, движется по рампе медленнее, чем ваш. После окончания эксперимента вы требуете, чтобы шары разобрали и обследовали на предмет обмана. Вместо этого все, что вы обнаружите, - это то, что 5 кг массы в шаре вашего друга были заключены в тонкую оболочку снаружи, а внутреннюю полость.

Как насчет описанной выше конфигурации наклоняет значение v в пользу вашего мяча? Как бывает, так же, каксилыизменитьлинейный импульсобъектов слинейная скорость​, ​крутящие моментыизменитьугловой моментобъектов сугловая скорость​.

Жесткий катящийся объект обладает как линейным, так и угловым моментом, поскольку его центр масс движется с постоянной скоростью v (равной относительно тангенциальной скорости шара или колеса), каждая другая часть объекта вращается вокруг этого центра масс с угловой скоростью ω.

Распределение массы внутри объекта не влияет на его импульс, но точно определяет его угловой момент. Это достигается за счет «подобной массе» (для целей вращения) величины, называемой моментом инерции, более высоких значений что подразумевает как более трудную задачу заставить что-то вращаться, так и более сложную остановку его, когда оно уже вращающийся.

Угловой момент - это мера того, насколько сложно изменить вращательное движение объекта. Это зависит от момента инерции объекта и его угловой скорости. Угловой момент - это постоянная величина, а это означает, что сумма угловых моментов частиц в замкнутой системе всегда одинакова, даже если у отдельных частиц может колебаться.

Как уже отмечалось, угловой момент также является функцией распределения массы вокруг оси. Чтобы получить интуитивное представление об этом, представьте, что вы стоите в 1 футе от центра огромной карусели, которая совершает один оборот каждые 10 секунд. А теперь представьте, что вы стоите на одном и том же устройстве с той же угловой скоростью.миляот центра. Не нужно много воображения, чтобы понять разницу углового момента в этих двух сценариях.

​Угловой момент - это произведение момента инерции на его угловую скорость, или:
​

гдеL= угловой момент в кг ∙ м²/s,я= момент инерции в кг ∙ м², и ω = угловая скорость в радианах в секунду (рад / с).

• ​ятакже называется вторым моментом площади.

Обратите внимание, что обсуждение расширилось от точечной массы до твердого тела, такого как цилиндр или сфера, вращающиеся вокруг оси. Центр масс объекта часто находится не на своемгеометрическийцентр, поэтому значенияязависят от того, как распределяется масса объекта. Часто это симметрично, но не однородно, например, полый диск со всей своей массой в тонкой полосе снаружи (другими словами, кольцо).

Вектор момента количества движения направлен вдоль оси вращения, перпендикулярной плоскости, образованнойр, круговое "протягивание" любой точки объекта в пространстве.

Справочная таблица для значенияядля различных распространенных форм можно найти в Ресурсах. Используйте их, чтобы приступить к решению нескольких основных задач об угловом моменте.

• Обратите внимание, чтоядля сферической оболочки это (2/3) mr² в то время как сфера (2/5) mr². Возвращаясь к ставке во введении, теперь вы можете видеть, что мяч вашего друга имеет (2/3) / (2/5) = 1,67 момент инерции, превышающий ваш собственный, что объясняет вашу победу в «гонке».

1. Диск с инерцией вращенияя1,5 кг ∙ м²/ с вращается вокруг оси с угловой скоростьюω8 рад / с. Каков его угловой моментL​?

2. Тонкий стержень длиной 15 м и массой 5 ​​кг - скажем, стрелка массивных часов - вращается вокруг закрепленной на одном конце точки с угловой скоростью.ω2π рад / 60 с = (π / 30) рад / с. Каков его момент количества движенияL​?

На этот раз вам нужно найти значениея. Для тонкого стержня, движущегося таким образом,я= (1/3) мр²​.

Сравните это с ответом в первом примере. Вас это удивляет? Почему или почему нет?

«Сохранение» в физике означает нечто иное, чем в сфере экосистем. Это просто означает, что общее количество сохраняемых величин (энергия, импульс, масса и инерция равны "большая четверка" сохраняющихся величин в физике) в системе, включая Вселенную, всегда остается одно и тоже. Если вы попытаетесь «устранить» энергию, она просто проявится в другой форме, и любая попытка «создать» ее будет опираться на уже существующий источник.

Закон сохранения углового момента гласит, что в замкнутой системе полный угловой момент не может измениться. Поскольку угловой момент зависит от угловой скорости и момента инерции, можно предсказать, как каждая из этих величин должна измениться по отношению друг к другу в данной ситуации.

• Формально, поскольку крутящий момент можно выразить какτ= dL/ dt (скорость изменения углового момента со временем), когда сумма моментов в системе равна нулю, тогда dL/ dt также должно быть равно нулю, а угловой момент в системе не изменяется за период времени, в котором оценивается система. И наоборот, если L не является постоянным, это означает дисбаланс крутящих моментов в системе (т. Е.τ_сетьявляетсянетравен нулю).

Это важная концепция во многих примерах механики из повседневной жизни. Классический пример - фигуристка: когда она прыгает в воздух, чтобы сделать тройной аксель, она плотно втягивает конечности. Это уменьшает ее общий радиус вокруг оси вращения, изменяя ее распределение массы так, что ее момент инерции уменьшается (помните,япропорционально mр²​).

Однако, поскольку угловой момент сохраняется, еслияуменьшается, ее угловая скорость должна увеличиваться; так она вращается достаточно быстро, чтобы совершить несколько оборотов в воздухе! Когда она приземляется, она делает обратное - она ​​разводит свои конечности, изменяя распределение массы, чтобы увеличить ее момент инерции, в свою очередь замедляя скорость вращения (угловую скорость).

Повсюду, угловой момент системы постоянен, но переменными, которые определяют величину углового момента, можно манипулировать, и это может иметь стратегический эффект, как в этом случае.

Начиная с 1600-х годов Исаак Ньютон совершил революцию в математической физике. Являясь соавтором исчисления, он имел хорошие возможности для формальных утверждений о предположительно универсальных законах. управляющие движением объектов, как поступательное (линейно и в пространстве), так и вращательное (циклически и около ось).

• Различныезаконы сохранениякоторые позже будут широко упоминаться, не являются детищами Ньютона, но между ними и законами движения существует значительная взаимосвязь.

​Первый закон Ньютонаутверждает, что объект, находящийся в состоянии покоя или движущийся с постоянной скоростью, останется в этом состоянии, если на объект не действует внешняя сила. Это также называетсязакон инерции.​

​Второй закон Ньютонаутверждает, что чистая силаF_сетьдействует на частицу с массойм, он будет иметь тенденцию изменять скорость или ускорять эту массу. Это известное соотношение математически выражается какF_сеть= ма​.

​Третий закон Ньютонаговорит, что для каждой силы, существующей в природе, существует сила, равная по величине, но указывающая точно в противоположном направлении. Этот закон имеет важные последствия для сохраняющихся свойств движения, включая угловой момент.

Сейчас отличное время, чтобы рассмотреть природу, правила и отношения междусила​, ​импульс(масса, умноженная на скорость) иэнергия, которые информируют не только об угловом моменте, но и обо всем остальном в классической физике.

Как уже отмечалось, если объект не подвергается воздействию внешней силы (или, в случае вращающегося объекта, внешнего крутящего момента), его движение продолжается без изменений. Однако на Земле гравитация практически всегда присутствует в смеси, так же как и меньшее сопротивление воздуха и различные виды трения. сил, поэтому ничто просто не продолжает двигаться, если ему время от времени не дается энергия для замены того, что «забирается» этим хроническим »движением. воры ".

Чтобы упростить, частица имеетполная энергиясостоящий извнутренняя энергия(например, колебание его молекул) имеханическая энергия. Механическая энергия - это суммапотенциальная энергия(PE; «запасенная» энергия, обычно за счет силы тяжести) икинетическая энергия(KE; энергия движения). Полезно, что PE + KE + IE = константа для всех систем, будь то точечная масса (отдельная частица) или множество движущихся, взаимодействующих масс.

Когда вы слышите термины, относящиеся к движению, такие как скорость, ускорение, смещение и импульс, вы, вероятно, по умолчанию предполагаете, что контекст - это линейное движение. Фактически, вращательное движение имеет свои уникальные, но аналогичные величины.

В то время как линейное смещение измеряется в метрах (м) в единицах СИ, угловое смещение измеряется в радианах (2π рад = 360 градусов). Соответственно,угловая скоростьизмеряется в рад / с и представляется какω, греческая буква омега.

Однако, когда точечная масса движется вокруг своей оси вращения, в дополнение к угловой скорости, частица с заданной скоростью движется по круговой траектории, сродни линейному движению. Это ставкатангенциальная скорость​ ​v_т​​,и равен rω,гдерэто радиус или расстояние от оси вращения.

Соответственно,угловое ускорение​ ​α(Греческий альфа) - скорость изменения угловой скорости.ωи измеряется в рад / с². Также естьцентростремительное ускорение​ ​а_cданоv_т²/r,которая направлена ​​внутрь к оси вращения.

• При обсуждении углового момента аналог mvв линейных терминах, скоро будет дано подробное обсуждение, знайте, что один из его компонентов,я, можно рассматривать как вращательный аналог массы.

Угловой момент, как и сила, смещение, скорость и ускорение, являетсявекторная величина, потому что такие переменные включают каквеличина(т.е. число) инаправление, часто задаваемые в терминах его отдельных x-, y- и z-компонентов. Величины, которые содержат только числовой элемент, такой как масса, время, энергия и работа, известны какскалярные величины​.