Уравнения кинематики описывают движение объекта, испытывающего постоянное ускорение. Эти уравнения связывают переменные времени, положения, скорости и ускорения движущегося объекта, позволяя решить любую из этих переменных, если другие известны.
Ниже представлено изображение объекта, совершающего движение с постоянным ускорением в одном измерении. Переменная т на время, позиция Икс, скорость v и ускорение а. Индексы я а также ж обозначают «начальный» и «конечный» соответственно. Предполагается, что т = 0 при Икся а также vя.
(Вставить изображение 1)
Список кинематических уравнений
Ниже перечислены три основных кинематических уравнения, которые применяются при работе в одном измерении. Вот эти уравнения:
\ # \ text {1:} v_f = v_i + at \\ \ # \ text {2:} x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 at ^ 2 \\ \ # \ text {3:} (v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)
Примечания к кинематическим уравнениям
- Эти уравнения работают только с постоянным ускорением (которое может быть нулевым в случае постоянной скорости).
- В зависимости от того, какой источник вы читаете, окончательные количества могут не иметь подстрочного индекса. ж, и / или могут быть представлены в обозначении функций как х (т) - читать "Икс как функция времени »или«Икс вовремя т" - а также v (t). Обратите внимание, что х (т) не значит Икс умножается на т!
-
Иногда количество Иксж - Икся написано
Δx, что означает «изменение Икс, »Или просто как d, что означает смещение. Все равноценны. Положение, скорость и ускорение являются векторными величинами, то есть с ними связано направление. В одном измерении направление обычно указывается знаками - положительные величины находятся в положительном направлении, а отрицательные величины - в отрицательном направлении. Индексы: "0" может использоваться для начального положения и скорости вместо я. Это «0» означает «на т = 0, "и Икс0 а также v0 обычно произносятся как «x-naught» и «v-naught». * Только одно из уравнений не включает время. Это ключевой момент при составлении заданных значений и определении того, какое уравнение использовать!
Особый случай: свободное падение
Движение свободного падения - это движение объекта, ускоряющееся только под действием силы тяжести при отсутствии сопротивления воздуха. Применяются те же кинематические уравнения; однако величина ускорения у поверхности Земли известна. Величина этого ускорения часто представлена как грамм, где g = 9,8 м / с2. Направление этого ускорения - вниз, к поверхности Земли. (Обратите внимание, что некоторые источники могут приблизительно грамм как 10 м / с2, а другие могут использовать значение с точностью более двух десятичных знаков.)
Стратегия решения задач кинематики в одном измерении:
Нарисуйте схему ситуации и выберите подходящую систему координат. (Напомним, что Икс, v а также а все являются векторными величинами, поэтому, задав четкое положительное направление, будет легче отслеживать знаки.)
Напишите список известных величин. (Помните, что иногда известные вещи не очевидны. Ищите такие фразы, как «начинается с отдыха», что означает, что vя = 0 или «падает на землю», что означает, что Иксж = 0 и т. Д.)
Определите, какое количество вы хотите найти в вопросе. Какое неизвестное вы будете решать?
Выберите подходящее кинематическое уравнение. Это будет уравнение, которое содержит вашу неизвестную величину вместе с известными величинами.
Решите уравнение для неизвестной величины, затем вставьте известные значения и вычислите окончательный ответ. (Будьте осторожны с юнитами! Иногда вам нужно будет преобразовать единицы перед вычислением.)
Примеры одномерной кинематики
Пример 1: В рекламе утверждается, что спортивный автомобиль может разогнаться от 0 до 100 км / ч за 2,7 секунды. Какое ускорение у этой машины в м / с2? Как далеко он проходит за эти 2,7 секунды?
Решение:
(Вставить изображение 2)
Известные и неизвестные количества:
v_i = 0 \ text {mph} \\ v_f = 60 \ text {mph} \\ t = 2.7 \ text {s} \\ x_i = 0 \\ a = \ text {?} \\ x_f = \ text {? }
Первая часть вопроса требует решения для неизвестного ускорения. Здесь мы можем использовать уравнение №1:
v_f = v_i + at \ подразумевает a = \ frac {(v_f-v_i)} t
Однако, прежде чем вводить цифры, нам нужно преобразовать скорость 60 миль в час в м / с:
60 \ cancel {\ text {mph}} \ Bigg (\ frac {0.477 \ text {m / s}} {\ cancel {\ text {mph}}} \ Bigg) = 26.8 \ text {m / s}
Итак, ускорение будет таким:
a = \ frac {(26.8-0)} {2.7} = \ underline {\ bold {9.93} \ text {m / s} ^ 2}
Чтобы узнать, как далеко он продвинулся за это время, мы можем использовать уравнение №2:
x_f = x_i + v_it + \ frac 1 2 at ^ 2 = \ frac 1 2 \ times 9.93 \ times 2.7 ^ 2 = \ underline {\ bold {36.2} \ text {m}}
Пример 2: Мяч подбрасывается со скоростью 15 м / с с высоты 1,5 м. Как быстро он летит, когда падает на землю? Сколько времени нужно, чтобы удариться о землю?
Решение:
(Вставить изображение 3)
Известные и неизвестные количества:
x_i = 1,5 \ text {m} \\ x_f = 0 \ text {m} \\ v_i = 15 \ text {m / s} \\ a = -9,8 \ text {m / s} ^ 2 \\ v_f =? \\ t =?
Чтобы решить первую часть, мы можем использовать уравнение № 3:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i) \ подразумевает v_f = \ pm \ sqrt {(v_i) ^ 2 + 2a (x_f-x_i)}
Все уже в согласованных единицах, поэтому мы можем вставить значения:
v_f = \ pm \ sqrt {15 ^ 2 + 2 (-9,8) (0-1,5)} = \ pm \ sqrt {254,4} \ приблизительно \ pm16 \ text {м / с}
Здесь есть два решения. Какой из них правильный? Из нашей диаграммы мы видим, что конечная скорость должна быть отрицательной. Итак, ответ таков:
v_f = \ underline {\ bold {-16} \ text {m / s}}
Чтобы найти время, мы можем использовать уравнение №1 или уравнение №2. Поскольку с уравнением №1 проще работать, мы будем использовать его:
v_f = v_i + at \ подразумевает t = \ frac {(v_f-v_i)} {a} = \ frac {(-16-15)} {- 9.8} \ приблизительно \ underline {\ bold {3.2} \ text {s }}
Обратите внимание, что ответ на первую часть этого вопроса был не 0 м / с. Хотя верно, что после того, как мяч приземлится, его скорость будет равна 0, но этот вопрос хочет знать, насколько быстро он летит за долю секунды до удара. Как только мяч касается земли, наши кинематические уравнения больше не применяются, потому что ускорение не будет постоянным.
Кинематические уравнения движения снаряда (два измерения)
Снаряд - это объект, движущийся в двух измерениях под действием силы тяжести Земли. Его путь - парабола, потому что единственное ускорение происходит за счет силы тяжести. Кинематические уравнения движения снаряда немного отличаются от кинематических уравнений, перечисленных выше. Мы используем тот факт, что компоненты движения, которые перпендикулярны друг другу, например, горизонтальная Икс направление и вертикаль у направление - независимы.
Стратегия решения проблем кинематики движения снаряда:
Нарисуйте схему ситуации. Как и в случае с одномерным движением, полезно набросать сценарий и указать систему координат. Вместо использования этикеток Икс, v а также а для положения, скорости и ускорения нам нужен способ обозначить движение в каждом измерении отдельно.
Для горизонтального направления чаще всего используется Икс для должности и vИкс для x-компоненты скорости (обратите внимание, что в этом направлении ускорение равно 0, поэтому нам не нужна переменная). у направление, чаще всего используется у для должности и vу для y-компоненты скорости. Ускорение можно обозначить как ау или мы можем использовать тот факт, что мы знаем, что ускорение свободного падения равно грамм в отрицательном направлении оси y, и просто используйте это вместо этого.
Составьте список известных и неизвестных величин, разделив задачу на две части: вертикальное и горизонтальное движение. Используйте тригонометрию, чтобы найти компоненты x и y любых векторных величин, которые не лежат вдоль оси. Может быть полезно перечислить это в двух столбцах:
(вставить таблицу 1)
Примечание: если скорость указана как величина вместе с углом, Ѳ, выше горизонтали, используйте векторное разложение, vИкс= vcos (Ѳ) а также vу= vsin (Ѳ).
Мы можем рассмотреть наши три кинематических уравнения из предыдущих и адаптировать их к направлениям x и y соответственно.
Направление X:
x_f = x_i + v_xt
Направление Y:
v_ {yf} = v_ {yi} -gt \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \\ (v_ {yf}) ^ 2 = (v_ {yi}) ^ 2- 2г (y_f - y_i)
Обратите внимание, что ускорение в у Направление равно -g, если мы предполагаем, что вверх положительно. Распространенное заблуждение состоит в том, что g = -9,8 м / с.2, но это неверно; грамм само по себе просто величина ускорения: g = 9,8 м / с2, поэтому нам нужно указать, что ускорение отрицательное.
Найдите одно неизвестное в одном из этих измерений, а затем подключите то, что является общим в обоих направлениях. Хотя движение в двух измерениях независимо, оно происходит в одном и том же масштабе времени, поэтому временная переменная одинакова в обоих измерениях. (Время, необходимое мячу для его вертикального движения, такое же, как и время, необходимое для его горизонтального движения.)
Примеры кинематики движения снаряда
Пример 1: Снаряд запускается горизонтально со скалы высотой 20 м с начальной скоростью 50 м / с. Сколько времени нужно, чтобы удариться о землю? Как далеко от подножия утеса он приземляется?
(вставить изображение 4)
Известные и неизвестные количества:
(вставить таблицу 2)
Мы можем найти время, необходимое для удара о землю, используя второе уравнение вертикального движения:
y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 \ подразумевает t = \ sqrt {\ frac {(2 \ times 20)} g} = \ underline {\ bold {2.02} \ text {s} }
Затем, чтобы найти, где он приземляется, Иксж, мы можем использовать уравнение горизонтального движения:
x_f = x_i + v_xt = 50 \ times2.02 = \ подчеркивание {\ bold {101} \ text {s}}
Пример 2: Мяч запускается со скоростью 100 м / с от уровня земли под углом 30 градусов к горизонту. Где он приземляется? Когда его скорость наименьшая? Каково его местонахождение в настоящее время?
(вставить изображение 5)
Известные и неизвестные количества:
Для начала нам нужно разбить вектор скорости на составляющие:
v_x = v_i \ cos (\ theta) = 100 \ cos (30) \ приблизительно 86,6 \ text {m / s} \\ v_ {yi} = v_i \ sin (\ theta) = 100 \ sin (30) = 50 \ текст {м / с}
Итак, наша таблица количеств:
(вставить таблицу 3)
Сначала нам нужно найти время, в которое мяч находится в полете. Мы можем сделать это с помощью второго вертикального уравнения_. Обратите внимание, что мы используем симметрию параболы, чтобы определить, что окончательный _y скорость - отрицательная величина от начальной:
Затем мы определяем, как далеко он продвигается в Икс направление в это время:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ times 10,2 \ приблизительно \ подчеркивание {\ bold {883} \ text m}
Используя симметрию параболической траектории, мы можем определить, что скорость наименьшая при 5,1 с, когда снаряд находится на пике своего движения и вертикальная составляющая скорости равна 0. Компоненты x и y его движения в это время:
x_f = x_i + v_xt = 86,6 \ times 5.1 \ приблизительно \ подчеркивание {\ bold {442} \ text m} \\ y_f = y_i + v_ {yi} t- \ frac 1 2 gt ^ 2 = 50 \ times5.1- \ frac 1 2 9,8 \ times 5,1 ^ 2 \ приблизительно \ underline {\ bold {128} \ text {m}}
Вывод кинематических уравнений
Уравнение № 1: Если ускорение постоянное, то:
a = \ frac {(v_f-v_i)} {t}
Решая для скорости, мы имеем:
v_f = v_i + в
Уравнение № 2: Среднюю скорость можно записать двумя способами:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Если заменить _vж _с помощью выражения из уравнения №1 получаем:
\ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {((v_i + at) + v_i)} {2}
Решение для Иксж дает:
x_f = x_i + v_i t + \ frac 1 2 при ^ 2
Уравнение № 3: начните с решения для т в уравнении №1
v_f = v_i + at \ подразумевает t = \ frac {(v_f-v_i)} {a}
Вставьте это выражение для т в соотношении средней скорости:
v_ {avg} = \ frac {(x_f-x_i)} {t} = \ frac {(v_f + v_i)} {2} \ implies \ frac {(x_f-x_i)} {(\ frac {(v_f-v_i) )} {a})} = \ frac {(v_f + v_i)} {2}
Перестановка этого выражения дает:
(v_f) ^ 2 = (v_i) ^ 2 + 2a (x_f - x_i)