Неявное дифференцирование - это метод, который используется для определения производной функции в форме y = f (x).
Чтобы узнать, как использовать неявное дифференцирование, мы можем использовать этот метод на простом примере, а затем изучить некоторые более сложные случаи.
Неявная дифференциация - это просто дифференциация
Хотя это звучит более сложно, неявная дифференциация использует ту же математику и навыки, что и базовая дифференциация. Однако важно отметить, что наша зависимая переменная теперь отображается в самой функции.
Возьмем простое уравнение, например xy = 1. Есть два способа найти производную от у относительно Икс, или dy / dx. Во-первых, мы можем просто решить для у в уравнении и используйте правило мощности для производных. Это даст: y = 1 / x. Таким образом, применение правила мощности покажет, что dy / dx = -1 / x2.
Мы также можем решить эту проблему, используя неявное дифференцирование. К счастью, мы уже знаем ответ (он должен быть одинаковым независимо от того, как мы его вычисляем), поэтому мы можем проверить свою работу!
Для начала применим производную к обеим частям уравнения xy = 1. Тогда d / dx (xy) = d / dx (1); ясно, что правая часть теперь равна 0, но левая сторона требует цепного правила. Это потому, что мы берем производную нашей функции, у, в то время как он умножается на другой коэффициент Икс. Чтобы вычислить это: d / dx (x) y + x (d / dx (y)) = y + xy '. Мы будем использовать штриховые обозначения для обозначения производной по Икс.
Переписывая наше уравнение, получаем: y + xy '= 0. Пришло время решить y ' в нашем уравнении! Ясно, что y '= -y / x. Но, используя исходную информацию, мы знаем, что y = 1 / x, поэтому мы можем подставить это обратно. Сделав это, мы увидим, что y '= -1 / x2, как и раньше.
Неявная дифференциация для определения производной греха (xy)
Чтобы определить производную y = sin (xy), мы будем использовать неявное дифференцирование, помня, что (d / dx) y = y '.
Сначала примените производную к обеим сторонам уравнения: d / dx (y) = d / dx (sin (xy)). Левая часть уравнения явно y ', это то, что нам нужно будет решить, но правая сторона потребует некоторой работы; в частности, правило цепочки и правило продукта. Сначала к sin (xy) нужно применить цепное правило, а затем правило произведения для аргумента. ху. К счастью, мы уже рассчитали это правило продукта.
Далее, упрощение дает: y '= cos (xy) (y + xy').
Ясно, что это уравнение необходимо решить относительно y ' чтобы определить, как y ' относится к Икс а также у.
Изолируйте все термины с помощью y ' с одной стороны: y '- xy'cos (xy) = ycos (xy).
Затем вычтите y ' чтобы получить: y '(1 - xcos (xy)) = ycos (xy).
Теперь мы видим, что y '= ycos (xy) / (1-xcos (xy)).
Мне необходимо дальнейшее упрощение, но поскольку наша функция определена рекурсивно, включение y = sin (xy), скорее всего, не даст удовлетворительного решения. В этом случае может оказаться полезным дополнительная информация или более сложный метод построения этих уравнений.
Общие шаги для неявной дифференциации
Во-первых, помните, что неявное дифференцирование полагается на то, что одна из переменных является функцией другой. Обычно мы видим функции как y = f (x), но можно было бы написать функцию x = f (y). Подходя к этим проблемам, будьте осторожны, чтобы определить, какая переменная зависит от другой.
Затем не забудьте тщательно применять производные правила. Для неявной дифференциации очень часто требуется правило цепочки, а также правило продукта и правило частного. Правильное применение этих методов будет иметь важное значение для определения окончательного ответа.
Наконец, найдите желаемую производную, выделив ее и максимально упростив выражения.